給"小白"圖示講解OFDM的原理

　　起因是這樣的。時(shí)間回到07年底，4G方興之時(shí)，同桌隔壁的隔壁"小白"同學(xué)說(shuō)看不太明白OFDMA的原理，讓我講解一下。我一向?qū)ψ约旱募夹g(shù)水平、邏輯思考能力和表達(dá)技巧還是蠻有自信的，因此輕笑一聲就答應(yīng)了。半小時(shí)后，在嘗試了從時(shí)域、頻域以及物理意義等各方面講解，但均無(wú)法從“小白”的眼神中抹除那份迷茫之后，我豎起了白旗，讓“小白”自生自滅去了。

　　對(duì)知識(shí)能力的掌握，我自己粗曠的分為兩層：一層是“會(huì)了，能應(yīng)用”;二層是“懂了，能衍生”。而能講解出來(lái)，并讓人懂，大抵就是區(qū)分一層和二層的分水嶺。打一個(gè)屌絲男喜聞樂(lè)見(jiàn)的比方：第一層就是人界的修煉，即使是“會(huì)了”，也是有筑基、金丹、元嬰等境界之分的，而高考研考就是天劫，不到大乘之境，終究要化為劫灰;第二層是天界，也自有天仙、金仙之分，而能修至道祖的大牛，終究只是寥寥。我一向覺(jué)得自己在專(zhuān)業(yè)上還算是個(gè)“小仙”，可惜就被“小白”打臉了。

　　這事兒對(duì)我的負(fù)面影響挺大的，一是懷疑自己技術(shù)宅做久了，表達(dá)能力方面嚴(yán)重退化【比如我偶爾會(huì)在搜索一個(gè)精準(zhǔn)的動(dòng)詞或者形容詞時(shí)，需要嘗試2-3次，甚至更多】;二是在涉及到OFDM方面的內(nèi)容時(shí)，仿佛就會(huì)看到一張白紙上逡巡著一只揮之不去的黑蒼蠅。

　　時(shí)隔多年，近期又回顧了一下OFDM，不經(jīng)意又記起這樁公案，猶豫再三，還是決定花時(shí)間寫(xiě)下這篇文章，把這只盤(pán)旋于腦中的“黑蒼蠅”拍死。因此雖然現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)資源極大豐富，各種文章都可以搜到，其實(shí)我是沒(méi)必要專(zhuān)門(mén)寫(xiě)這篇未必比別人寫(xiě)得好的文章的。不過(guò)畢竟是自己遺留的缺失，需要自己來(lái)補(bǔ)上。

　　下面試圖以圖示為主講解OFDM，以"易懂"為第一要義。"小白"，你準(zhǔn)備好了嗎?

　　注：下面的討論如果不做說(shuō)明，均假設(shè)為理想信道。

　　章節(jié)一：時(shí)域上的OFDM

　　OFDM的"O"代表著"正交"，那么就先說(shuō)說(shuō)正交吧。

　　首先說(shuō)說(shuō)最簡(jiǎn)單的情況，sin(t)和sin(2t)是正交的【證明：sin(t)·sin(2t)在區(qū)間[0,2π]上的積分為0】，而正弦函數(shù)又是波的最直觀描述，因此我們就以此作為介入點(diǎn)。既然本文說(shuō)的是圖示，那么我們就用圖形的方式來(lái)先理解一下正交性?！灸闳绻軓南蛄靠臻g的角度，高屋建瓴的看待這個(gè)問(wèn)題的話，你也就不是"小白"了，RU?】

　　在下面的圖示中，在[0,2π]的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)，采用最易懂的幅度調(diào)制方式傳送信號(hào)：sin(t)傳送信號(hào)a，因此發(fā)送a·sin(t)，sin(2t)傳送信號(hào)b，因此發(fā)送b·sin(2t)。其中，sin(t)和sin(2t)的用處是用來(lái)承載信號(hào)，是收發(fā)端預(yù)先規(guī)定好的信息，在本文中一律稱為子載波;調(diào)制在子載波上的幅度信號(hào)a和b，才是需要發(fā)送的信息。因此在信道中傳送的信號(hào)為a·sin(t)+b·sin(2t)。在接收端，分別對(duì)接收到的信號(hào)作關(guān)于sin(t)和sin(2t)的積分檢測(cè)，就可以得到a和b了。(以下圖形采用google繪制)

　　圖一：發(fā)送a信號(hào)的sin(t)

　　圖二：發(fā)送b信號(hào)的sin(2t)【注意：在區(qū)間[0,2π]內(nèi)發(fā)送了兩個(gè)完整波形】

　　圖三：發(fā)送在無(wú)線空間的疊加信號(hào)a·sin(t)+b·sin(2t)

　　圖四：接收信號(hào)乘sin(t)，積分解碼出a信號(hào)。【如前文所述，傳送b信號(hào)的sin(2t)項(xiàng)，在積分后為0】

　　圖五：接收信號(hào)乘sin(2t)，積分解碼出b信號(hào)?！救缜拔乃觯瑐魉蚢信號(hào)的sin(t)項(xiàng)，在積分后為0】

　　圖六：流程圖

　　到了這里，也許你會(huì)出現(xiàn)兩種狀態(tài)：

　　一種是：啊，原來(lái)是這樣，我懂了。

　　一種是：啊，怎么會(huì)這樣，我完全無(wú)法想象。這里要說(shuō)的是，你根本用不著去想象(visualize)。數(shù)學(xué)中是如此定義正交的，數(shù)學(xué)證明了它們的正交性，那么他們就是正交的，【他們就可以互不干擾的承載各自的信息】。選取sin(t)和sin(2t)作為例子，正是因?yàn)樗鼈兪墙橛谥庇^和抽象的過(guò)渡地帶，趟過(guò)去吧。

　　上面的圖示雖然簡(jiǎn)單，但是卻是所有復(fù)雜的基礎(chǔ)。

　　1.1

　　下一步，將sin(t)和sin(2t)擴(kuò)展到更多的子載波序列{sin(2π·Δf·t)，sin(2π·Δf·2t)，sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt)}

　　(例如k=16，256，1024等)，應(yīng)該是很好理解的事情。其中，2π是常量;Δf是事先選好的載頻間隔，也是常量。1t,2t,3t,...,kt保證了正弦波序列的正交性。

　　1.2 再下一步，將cos(t)也引入。容易證明，cos(t)與sin(t)是正交的，也與整個(gè)sin(kt)的正交族相正交。同樣，cos(kt)也與整個(gè)sin(kt)的正交族相正交。因此發(fā)射序列擴(kuò)展到{sin(2π·Δf·t),sin(2π·Δf·2t),sin(2π·Δf·3t),...,sin(2π·Δf·kt),cos(2π·Δf·t),cos(2π·Δf·2t),cos(2π·Δf·3t),...,cos(2π·Δf·kt)}也就順理成章了。

　　1.3

　　經(jīng)過(guò)前兩步的擴(kuò)充，選好了2組正交序列sin(kt)和cos(kt)，這只是傳輸?shù)?quot;介質(zhì)"。真正要傳輸?shù)男畔⑦€需要調(diào)制在這些載波上，即sin(t),sin(2t),...,sin(kt)分別幅度調(diào)制a1,a2,...,ak信號(hào),cos(t),cos(2t),...,cos(kt)分別幅度調(diào)制b1,b2,...,bk信號(hào)。這2n組互相正交的信號(hào)同時(shí)發(fā)送出去，在空間上會(huì)疊加出怎樣的波形呢?做簡(jiǎn)單的加法如下：

　　f(t) = a1·sin(2π·Δf·t) +

　　a2·sin(2π·Δf·2t) +

　　a3·sin(2π·Δf·3t) +

　　...

　　ak·sin(2π·Δf·kt) +

　　b1·cos(2π·Δf·t) +

　　b2·cos(2π·Δf·2t) +

　　b3·cos(2π·Δf·3t)

　　+

　　...

　　bk·cos(2π·Δf·kt) +

　　= ∑ak·sin(2π·Δf·kt) +

　　∑bk·cos(2π·Δf·kt) 【公式1-1：實(shí)數(shù)的表達(dá)】

　　為了方便進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，上式有復(fù)數(shù)表達(dá)形式如下：

　　f(t) = ∑Fk·e(j·2π·Δf·kt) 【公式1-2：復(fù)數(shù)的表達(dá)，這編輯器找不到上角標(biāo)...不過(guò)，你應(yīng)該看得懂的】

　　上面的公式可以這樣看：每個(gè)子載波序列都在發(fā)送自己的信號(hào)，互相交疊在空中，最終在接收端看到的信號(hào)就是f(t)。接收端收到雜糅信號(hào)f(t)后，再在每個(gè)子載波上分別作相乘后積分的操作，就可以取出每個(gè)子載波分別承載的信號(hào)了。

　　然后，多看看公式1-1和公式1-2!!!發(fā)現(xiàn)咯?這就是傅里葉級(jí)數(shù)嘛。如果將t離散化，那么就是離散傅立葉變換。所以才有OFDM以FFT來(lái)實(shí)現(xiàn)的故事。將在下面的章節(jié)進(jìn)行更多的描述。