如何利用新型微分器處理離散時(shí)域信號(hào)

    在連續(xù)信號(hào)領(lǐng)域，微分的概念定義明確，而在離散域并非如此。然而，好在我們可以近似計(jì)算離散信號(hào)的微分。(DSP純化論者更喜歡使用“數(shù)字差分器”這一術(shù)語，我們還是使用“微分器”)。

離散時(shí)域信號(hào)">

    要理解微分的概念，可以考慮式(1)的連續(xù)正弦波，其頻率為rad./s。

    該正弦波的導(dǎo)數(shù)為：

    因此，正弦波的導(dǎo)數(shù)為幅度正比于原始x(t)正弦波頻率的余弦波。根據(jù)式(2)，理想微分器的頻率幅度響應(yīng)隨頻率ω的增加而直線增加?？紤]到這一點(diǎn)，對(duì)下面兩個(gè)普通離散時(shí)間FIR(非遞歸)微分器，一個(gè)是一階差分器，另一個(gè)是一個(gè)中心差分器。它們都是估算數(shù)字x(n)時(shí)域信號(hào)序列導(dǎo)數(shù)的簡單計(jì)算方法。

    一階差分器簡單計(jì)算連續(xù)x(n)信號(hào)采樣的差，在時(shí)域里定義為：

    該微分器的頻率幅度響應(yīng)為如圖1中的虛線|H_fd(ω)|。作為比較，圖1也示出了一個(gè)理想微分器直線|H_idea(ω)|=幅度響應(yīng)曲線。圖中的頻率軸包括正頻率范圍0≤ω≤π采樣/弧度，對(duì)應(yīng)0~f_s/2周期的頻率范圍，其中f_s為x(n)采樣率，單位為赫茲。

    式3簡潔，但缺點(diǎn)是其|H_fd(ω)|會(huì)將高頻噪聲放大，常對(duì)真實(shí)信號(hào)造成干擾。因此，實(shí)際上經(jīng)常使用中間差分微分器。中間差分微分器的時(shí)域表達(dá)式為：

    中間差分微分器的頻率幅度響應(yīng)為圖1中的點(diǎn)線|H_cd(ω)|。|H_cd(ω)|的理想高頻(噪聲)衰減受到限制，其線性工作頻率范圍為僅從0到約0.16 π采樣/弧度(0.08f_s Hz)之間。遺憾的是，該范圍小于一階微分器的線性工作頻率范圍。

    上面已經(jīng)提到，本設(shè)計(jì)指南介紹一種第三選擇，為一個(gè)高效計(jì)算微分器，它保持了中間差分微分器的高頻衰減性能優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)擴(kuò)展了其線性工作頻率范圍。該微分器定義為：

    該新穎的微分器的歸一化頻率幅度響應(yīng)為圖1中的實(shí)|H_dif(ω)|線，其線性工作頻率范圍為從0~約0.34π采樣/弧度(0.17f_s Hz)，為中間差分微分器可用頻率范圍的兩倍。

    該微分器的實(shí)現(xiàn)如圖2所示，其中一個(gè)延遲塊包含兩個(gè)單位延遲。該微分器的折疊FIR結(jié)構(gòu)如圖3所示，表示出了對(duì)每個(gè)y_dif(n)輸出采樣，只需進(jìn)行一次倍乘。y_dif(n)微分器的真正靈活性是其非單位系數(shù)(