分?jǐn)?shù)階Fourier變換應(yīng)用于水聲通信及其FPGA實(shí)現(xiàn)

　　復(fù)數(shù)結(jié)果的新表達(dá)式是：

　　Rr=[(Ar+Ai)×(Br-Bi)]+(Ar×Bi-Ai×Br)(3次乘法) (8)
　　Ri=Ar×Bi+Ai×Br(復(fù)用來自Rr的乘積) (9)

　　綜上可知：改進(jìn)的復(fù)數(shù)乘法可用3個乘法器、3個加法器和2個減法器實(shí)現(xiàn)。在Cyclone系列FPGA中，每個8×8位乘法器需95個邏輯單元，而每個位寬16位的加法/減法模塊只需18個邏輯單元，即改進(jìn)后的復(fù)數(shù)乘法器減少41個邏輯單元，降低了FPGA的資源消耗。

　　卷積模塊

　　本文采用FFT運(yùn)算完成卷積運(yùn)算[11]。基于快速傅立葉變換的卷積計(jì)算流程如圖5所示。分別對x(n)和h(n)進(jìn)行FFT運(yùn)算，得到對應(yīng)的頻域響應(yīng)X(k)和H(k)，將X(k)和H(k)相乘的結(jié)果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷積結(jié)果y(n)?！　?/p>

?

　　由于進(jìn)行卷積的Chirp信號已知，為了降低FPGA的資源消耗，可預(yù)先計(jì)算Chirp信號的FFT結(jié)果，并將其保存到RAM中，即可減少一次FFT硬件運(yùn)算。其改進(jìn)快速傅立葉變換的卷積計(jì)算流程示意圖如圖6。　　

?

　　兩次FFT運(yùn)算共需要2×1/2Nlog₂N次相乘還有N次相乘，因此共需要相乘次數(shù)為m=N(1+lbN)。傳統(tǒng)方法直接計(jì)算線性卷積需要n=ML次乘法。當(dāng)x(n)和h(n)點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，則M=L，傳統(tǒng)直接計(jì)算方法與改進(jìn)方法進(jìn)行卷積計(jì)算的運(yùn)算量^[12]比較為：
???????? ?? (10)?

　　由式(10)可知M值越大，此算法的優(yōu)越性越明顯。用硬件語言設(shè)計(jì)出改進(jìn)快速傅立葉變換的卷積部分并生成模塊，如圖7所示。　　

?