分數(shù)階Fourier變換應(yīng)用于水聲通信及其FPGA實現(xiàn)

　　復數(shù)結(jié)果的新表達式是：

　　Rr=[(Ar+Ai)×(Br-Bi)]+(Ar×Bi-Ai×Br)(3次乘法) (8)
　　Ri=Ar×Bi+Ai×Br(復用來自Rr的乘積) (9)

　　綜上可知：改進的復數(shù)乘法可用3個乘法器、3個加法器和2個減法器實現(xiàn)。在Cyclone系列FPGA中，每個8×8位乘法器需95個邏輯單元，而每個位寬16位的加法/減法模塊只需18個邏輯單元，即改進后的復數(shù)乘法器減少41個邏輯單元，降低了FPGA的資源消耗。

　　卷積模塊

　　本文采用FFT運算完成卷積運算[11]。基于快速傅立葉變換的卷積計算流程如圖5所示。分別對x(n)和h(n)進行FFT運算，得到對應(yīng)的頻域響應(yīng)X(k)和H(k)，將X(k)和H(k)相乘的結(jié)果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷積結(jié)果y(n)?！　?/p>

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　　由于進行卷積的Chirp信號已知，為了降低FPGA的資源消耗，可預先計算Chirp信號的FFT結(jié)果，并將其保存到RAM中，即可減少一次FFT硬件運算。其改進快速傅立葉變換的卷積計算流程示意圖如圖6?！　?/p>

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　　兩次FFT運算共需要2×1/2Nlog₂N次相乘還有N次相乘，因此共需要相乘次數(shù)為m=N(1+lbN)。傳統(tǒng)方法直接計算線性卷積需要n=ML次乘法。當x(n)和h(n)點數(shù)相同時，則M=L，傳統(tǒng)直接計算方法與改進方法進行卷積計算的運算量^[12]比較為：
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　　由式(10)可知M值越大，此算法的優(yōu)越性越明顯。用硬件語言設(shè)計出改進快速傅立葉變換的卷積部分并生成模塊，如圖7所示。　　

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