開槽波導(dǎo)3次諧波回旋行波放大管非線性理論數(shù)值模擬

當(dāng)角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后，截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過(guò)數(shù)值求解方法求得[6，8，9].

三、自洽非線性理論

在熱腔中，高頻場(chǎng)沿軸向呈緩變分布狀況，其對(duì)橫坐標(biāo)(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場(chǎng)分量(TE波)表達(dá)式.

　(11)

　(12)

Ez=0　(13)

上述各式中，Cmn為電場(chǎng)歸一化系數(shù)，f(z)為一復(fù)函數(shù)，代表高頻場(chǎng)沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得

　(14)

以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.

從洛倫茲公式

出發(fā)[8]，可推得電子在高頻場(chǎng)(E,B)和直流磁場(chǎng)(B0)作用下的運(yùn)動(dòng)方程.每個(gè)電子有6個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程，這里僅給出了速度分量及動(dòng)量空間角3個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程.

　(15)

　(16)

　(17)

以上各式中，m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對(duì)論因子，φ為動(dòng)量空間角，u=γv,v為電子的速度，如圖1所示.

從有源麥克斯韋方程出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的推導(dǎo)并對(duì)電流進(jìn)行離散化后得到非線性注波互作用場(chǎng)方程為

　(18)

上式中，P為在一個(gè)高頻場(chǎng)周期內(nèi)所取的電子注批數(shù)，M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù)，N為每圈上所取的宏電子數(shù)，S為諧波次數(shù).〈…〉表示對(duì)初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進(jìn)行平均.設(shè)電子注為單能電子注，速度零散主要來(lái)自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散，這里按正態(tài)分布規(guī)律來(lái)處理速度零散，即初始速度分布函數(shù)為

式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散，δ為狄拉克函數(shù).

邊界條件

f(z)|z=0=f(0)　(19)

(20)

式中f(0)為輸入高頻場(chǎng)電場(chǎng)幅值.

方程(15)～(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個(gè)宏電子，則一共有6NT+2個(gè)一階非線性微分方程，結(jié)合邊界條件(19)、(20)，利用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)注波互作用進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.

四、結(jié)果與討論

表1給出了互作用電路參數(shù)，各圖表曲線相關(guān)參數(shù)見(jiàn)相應(yīng)圖表標(biāo)注.圖3給出了驅(qū)動(dòng)功率為20W情況下，效率與電子速度比值α的關(guān)系.圖中B0、Bg分別為直流磁場(chǎng)和共振點(diǎn)磁場(chǎng)，ω為高頻場(chǎng)頻率，ωc為波導(dǎo)截止頻率.由于在回旋行波管中波的能量取自于電子的橫向能，又由于當(dāng)α值增大，電子的橫向能量以及回旋半徑也隨著增大，因此互作用效率也就隨著α增大而增大.但當(dāng)α增大到一定值后，注波互作用達(dá)到飽和，同時(shí)由于電子注回旋半徑過(guò)大，電子在波導(dǎo)壁上產(chǎn)生截獲，這樣互作用效率又隨α值增大而減小.

表1　數(shù)值模擬參數(shù)與結(jié)果

內(nèi)半徑1.024mm

外半徑1.465mm

電路長(zhǎng)度87.9mm

注電壓60kV

注電流6A

α1.3

直流磁場(chǎng)11.674kG

高頻場(chǎng)模式π

諧波次數(shù)3

工作頻率95.08GHz

模擬結(jié)果

飽和效率22.8%

飽和輸出功率82kW

飽和增益36.15dB

圖3　效率與電子注速度比值α的關(guān)系(s=3,πmode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=1.032，

B0/Bg=0.99)

圖4所示為飽和效率、飽和增益與B0/Bg值之間的關(guān)系，虛線為飽和增益曲線.圖中γz為縱向速度分量的相對(duì)論因子.圖示表明，一方面，降低B0/Bg值，有助于提高飽和互作用效率，但B0/Bg值不能太低，否則失諧加重，注波互作用難以達(dá)到同步，飽和效率便會(huì)迅速降低;另一方面，增加B0/Bg的值卻有利于提高飽和增益.總的來(lái)說(shuō)，磁場(chǎng)失諧率的選擇應(yīng)在效率和增益之間作優(yōu)化折衷.

圖4　飽和效率及增益與B0/Bg值的關(guān)系(s=3,π mode,I=6A,V=60kV,ω/ωc=γz,

α=1.3)

圖5所示電流分別為3A、6A和9A情況下(a)飽和效率、(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系.可以看出飽和效率、飽和增益以及飽和帶寬都隨電流的增長(zhǎng)而有所增加.在6A和圖示情況下，飽和帶寬為7%，電流為3A增大到9A時(shí)，飽和帶寬從4.6%增大到8.3%.

圖5　不同電流下，(a)飽和效率(b)飽和增益隨頻率變化的關(guān)系(