S波段耦合腔行波管非線性注一波互作用方程組的數(shù)值

1 基本方程
1．1 激發(fā)方程
令第n次本征模式軸向電場(chǎng)為：

可得擾動(dòng)電子注激勵(lì)的電場(chǎng)為：

式中：定義為n次諧波的耦合阻抗；

ψ(r⊥)為電子注橫向分布函數(shù)y）ds。所有本征模中只有個(gè)別模式與電子注同步，且除了電子流i（z）激發(fā)的同步波之外，還有輸入的“冷波”，即E0e-r0z，則具有外加激勵(lì)源E0e-r0z的同步場(chǎng)為：

式中：K0，г0，β0分別為該同步模式的耦合阻抗、傳播常數(shù)、相位常數(shù)。式(1)兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)2次得到熟知的激發(fā)方程：

1．2 運(yùn)動(dòng)方程
相對(duì)論下電子的運(yùn)動(dòng)方程為：

能量守恒方程為：

式(4)代入式(3)可得一維電子運(yùn)動(dòng)方程：

又由：

所以式(5)可寫(xiě)為：

其中：Ez=Ecz(線路場(chǎng))+Esz(空間電荷場(chǎng))；y=(1一v2/c2)-1/2為相對(duì)論因子，c為真空中的光速，v為電子速度。
1．3 電子流復(fù)振幅方程
電子流是時(shí)間的非簡(jiǎn)諧周期函數(shù)，含有高次諧波，用傅氏分析。

2 慢變系統(tǒng)中歸一化
上述是在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下得到的迅變方程，為了處理問(wèn)題的方便和計(jì)算結(jié)果普遍性強(qiáng)，通常將其歸一化到電子坐標(biāo)系內(nèi)，獲得慢變方程。
為了表述方便，先引入迅變坐標(biāo)系的歸一化量：歸一化距離為ξ=ω/v0z=βez；歸一化時(shí)間為φ=ωt=2πt=/T，歸一化場(chǎng)為f=|e|E/mvoω。則慢變系統(tǒng)中的歸一化：歸一化軸向距離為θ=Cξ=Cβez；歸一化相位φe=ψ-ξ；歸一化場(chǎng)幅值為Fcn(θ)=(eE／C2mvoω)ejnθ；歸一化電流幅值為

式(8)～(10)組成了行波管大信號(hào)注一波互作用基本工作方程組。其中Cn3=I0Kcn/4V0為n次諧波增益參量，bn=(V0一Vpn)／C1Vpn非同步參量，dn=aon／βeCn為衰減常數(shù)，rn=bn-idn。

3 空間電荷場(chǎng)的計(jì)算
由文獻(xiàn)可知z0處圓盤在z處圓盤平面上各點(diǎn)產(chǎn)生的平均空間電荷場(chǎng)為：

其中：Q為圓盤所帶電量；6為電子注半徑；a為漂移管半徑，如圖1所示，μ0n為零階Bessel函數(shù)的第n個(gè)根。由此可知場(chǎng)是關(guān)于z的函數(shù)，可以表示為：

其中：B(| z―z0|)是以| z―z0|為變量的函數(shù)，由式(11)可以做出如圖1所示曲線。