基于二叉樹的時序電路測試序列設(shè)計

摘要：為了實現(xiàn)時序電路狀態(tài)驗證和故障檢測，需要事先設(shè)計一個輸入測試序列。基于二叉樹節(jié)點(diǎn)和樹枝的特性，建立時序電路狀態(tài)二又樹，按照電路二叉樹節(jié)點(diǎn)(狀態(tài))與樹枝(輸入)的層次邏輯關(guān)系，可以直觀和便捷地設(shè)計出時序電路測試序列。用測試序列激勵待測電路，可以驗證電路是否具有全部預(yù)定狀態(tài)，是否能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定狀態(tài)轉(zhuǎn)換。
關(guān)鍵詞：二叉樹；時序電路；測試序列；狀態(tài)驗證；故障檢測

在時序電路的設(shè)計或故障檢測過程中，需要對電路進(jìn)行狀態(tài)驗證，狀態(tài)驗證就是用一個事先設(shè)計的測試序列，對待測電路的輸入端進(jìn)行激勵，同時檢測電路的輸出響應(yīng)，判斷電路是否具有全部設(shè)定狀態(tài)，能否實現(xiàn)設(shè)定的狀態(tài)轉(zhuǎn)換。測試序列設(shè)計包括：描述電路狀態(tài)轉(zhuǎn)換信息；確定電路到達(dá)全部預(yù)定狀態(tài)所需的輸入測試碼；將測試碼以適當(dāng)算法構(gòu)成狀態(tài)測試序列。使用測試序列對電路輸入端進(jìn)行激勵，電路具
有設(shè)定的全部狀態(tài)，能夠?qū)崿F(xiàn)設(shè)定的狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能。則電路設(shè)計目的達(dá)到或電路無故障，反之設(shè)計目的未達(dá)到或電路有故障。
有兩類設(shè)計時序電路測試序列的方法：第一類稱為迭代法，將時序電路等價為p維的組合電路迭代模型，考察i個時鐘到來時pi維組合電路模型的輸入輸出響應(yīng)，并按一定的迭代算法求出該時序電路的測試序列。第二類稱為檢測試驗法，通過對待測時序電路進(jìn)行試驗性激勵，導(dǎo)出一個測試序列，宏觀地檢查輸出是否實現(xiàn)預(yù)定功能。
前者需要建立多個電路模型，計算方法復(fù)雜。后者方法簡單但是需要多次激勵驗證，特別是對于多層邏輯結(jié)構(gòu)的電路，試驗性激勵將十分繁雜。通過對時序電路狀態(tài)描述，建立電路狀態(tài)二叉樹，利用二叉樹具有的數(shù)據(jù)元素(節(jié)點(diǎn)、分支)的非線性關(guān)系，設(shè)計時序電路的測試序列具有簡單清晰的特點(diǎn)。

1 電路狀態(tài)描述
時序電路狀態(tài)二叉樹可以根據(jù)電路狀態(tài)轉(zhuǎn)換表的信息建立。在電路設(shè)計階段，狀態(tài)轉(zhuǎn)換表可以由所需的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖推出。在已知電路測試或故障診斷階段，狀態(tài)轉(zhuǎn)換表可以通過電路狀態(tài)分析推出。例如，圖1所示的時序電路，由Q1、Q0兩個JK觸發(fā)器在同一時鐘CLK控制下翻轉(zhuǎn)，X為輸入信號，Z為輸出信號。由電路分析可知：
電路的觸發(fā)器驅(qū)動方程為：J1=K1=(XQ0)’；J0=X K0=(X’Q1)’
電路的觸發(fā)器狀態(tài)方程為：；
電路的輸出方程為：
電路的觸發(fā)器位數(shù)N=2，狀態(tài)數(shù)M=2N=4，4個狀態(tài)分別為A=00、B=01、C=10、D=11。
所以，圖1所示時序電路的狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能可以用如圖2所示狀態(tài)圖描述。

設(shè)：PS為初態(tài)，NS為現(xiàn)態(tài)，圖1所示時序電路的狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能也可以用如表1所示狀態(tài)表來描述。

狀態(tài)表描述了電路在輸入X作用下，輸出Z以及電路狀態(tài)NS與輸入X之間的邏輯關(guān)系，包涵了電路狀態(tài)驗證和故障檢測所需的全部測試碼，原則上可以直接使用狀態(tài)表的信息設(shè)計出電路的測試序列。但是，狀態(tài)表中描述測試碼與時序電路狀態(tài)的邏輯層次關(guān)系不明顯，沒有直接反映出電路狀態(tài)與輸入的多層邏輯關(guān)系。所以，設(shè)計具有多層邏輯關(guān)系電路的輸入測試序列，僅狀態(tài)表信息有一定難度。

2 電路二叉樹構(gòu)成
二叉樹是一種以節(jié)點(diǎn)(數(shù)據(jù)元素)按分支(樹枝)關(guān)系組織，按分支層次關(guān)系定義的樹型非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。其基本特點(diǎn)是：第i層最多有2i-1個節(jié)點(diǎn)，i=1層只有一個節(jié)點(diǎn)稱為根節(jié)點(diǎn)；每個節(jié)點(diǎn)最多有兩個后繼子樹，除根節(jié)點(diǎn)外的所有節(jié)點(diǎn)都有且只有一個直接前驅(qū)；深度為k的的二叉樹的最大節(jié)點(diǎn)數(shù)為2k-1。如圖3是深度為3的二叉樹。

二叉樹描述時序電路時，用二叉樹節(jié)點(diǎn)Ni代表電路在i時刻的狀態(tài)，電路初始(或復(fù)位)狀態(tài)稱為根節(jié)點(diǎn)。用二叉樹兩節(jié)點(diǎn)之間的樹枝表示輸入碼的邏輯值，在節(jié)點(diǎn)Ni處輸入碼X=0構(gòu)成左子樹，輸入碼X=1構(gòu)成右子樹，兩棵子樹分別連接下一層的兩個節(jié)點(diǎn)。所以，節(jié)點(diǎn)Ni到Ni+1之間樹枝的遍歷，在邏輯上代表了電路由狀態(tài)Ni轉(zhuǎn)換到狀態(tài)Ni+1所需的輸入序列Xi。其中，由根節(jié)點(diǎn)N01到節(jié)點(diǎn)Ni所經(jīng)歷的樹枝，組成了電路的一個測試序列Xi。Xi的長度就是二叉樹的層數(shù)，各層的節(jié)點(diǎn)數(shù)N=2i-1按指數(shù)規(guī)律增加。
通電初始時刻圖1時序電路在狀態(tài)二叉樹的根節(jié)點(diǎn)N01處，可能是A、B、C、D中的任意一個狀態(tài)，可以用節(jié)點(diǎn)向量N01=(ABCD)表示，如圖4所示。

在根節(jié)點(diǎn)N01處：當(dāng)輸入X=0，形成根節(jié)點(diǎn)的左子樹，連接到N11節(jié)點(diǎn)，如圖4所示。由表1可知輸入X=0時，若輸出Z=1，電路發(fā)生了初態(tài)PS=C到現(xiàn)態(tài)NS=A的轉(zhuǎn)換，記為C0→1A；若輸出Z=0則電路可能發(fā)生D0→0B、A0→0C或B0→0C的狀態(tài)轉(zhuǎn)換。所以，節(jié)點(diǎn)N11處電路狀態(tài)可用節(jié)點(diǎn)向量N11=(A)1(BCC)0表示。其中，節(jié)點(diǎn)向量的分量則表示電路在輸入Xi作用下，當(dāng)輸出為Zi時的電路狀態(tài)。例如，分量(A)1表示測得Z=1電路應(yīng)為狀態(tài)A；分量(BCC)0表示測得Z=0電路有可能是狀態(tài)B或C。
當(dāng)輸入X=1，形成根節(jié)點(diǎn)的右子樹，連接到N12節(jié)點(diǎn)，如圖4所示。由表1可知輸入X=1時，若Z=0電路發(fā)生了C1→0B的狀態(tài)轉(zhuǎn)換；若輸出Z=1則電路可能發(fā)生B1→1A、A1→1D或D1→1C的狀態(tài)轉(zhuǎn)換。用向量N12=(ACD)1(B)0表示。
電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N11=(A)1(BCC)0后：再輸入X=0(相當(dāng)于在根節(jié)點(diǎn)N01處輸入序列Xi=00)，電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N21=(C)10(C)00(AA)01處，如圖4所示。其中，分量(C)10表示在輸入序列X=00作用下，若輸出序列Z=10電路狀態(tài)為C；分量(C)00表示在輸入序列X=00作用下，若輸出序列Z=00電路狀態(tài)也為C；分量(AA)01表示在輸入序列X=00作用下，若輸出序列Z=01電路狀態(tài)為A。若再輸入X=1(即N01處輸入序列Xi=01)，電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N22=(D)11(A)01(BB)00處。
同理，輸入序列Xi=10，電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N23=(BC)10(A)11(C)00；輸入序列Xi=11，電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N24=(CD)11(B)10(A)01?？梢姡?dāng)輸入序列長度為2時，到達(dá)二叉樹的第二層，有4棵子樹對應(yīng)4個節(jié)點(diǎn)N21、N22、N23、N24，如圖4所示。
依次由根節(jié)點(diǎn)N01處開始，輸入序列為X=000、X=001、X=010、X=011、s=100、X=101、X=110、X=111，電路到達(dá)節(jié)點(diǎn)N31～N38，……即可以得到時序電路二叉樹，如圖4所示。其中，輸入序列長度i是二叉樹的層數(shù)，各層的節(jié)點(diǎn)數(shù)N=2i-1按指數(shù)規(guī)律增加。
在構(gòu)建電路二叉樹過程中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)向量與前級某節(jié)點(diǎn)向量重復(fù)時，該節(jié)點(diǎn)是二叉樹的一個終止節(jié)點(diǎn)。例如：N41與N21重復(fù)、N44與N31重復(fù)、N49與N35重復(fù)，二叉樹不再從這些節(jié)點(diǎn)延伸?？紤]到研究時序電路二叉樹的目的是確定測試序列，當(dāng)節(jié)點(diǎn)向量能夠確定電路唯一狀態(tài)(例如，節(jié)點(diǎn)N511處電路狀態(tài)必為C)二叉樹不再從這個節(jié)點(diǎn)延伸。當(dāng)節(jié)點(diǎn)的輸出序列Z能夠區(qū)分電路全部狀態(tài)，(例如，節(jié)點(diǎn)N38處電路向量N38=(B)110(C)111(A)101(D)011，表明在輸入序列X=111作用下，若Z=110電路狀態(tài)必為B，若Z=111電路狀態(tài)必為C，若Z=101電路狀態(tài)必為A，若Z=011電路狀態(tài)必為D。)二叉樹也不再從這個節(jié)點(diǎn)延伸。

3 節(jié)點(diǎn)向量與輸入序列
電路二叉樹的一個節(jié)點(diǎn)向量通常由多個分量組成，例如向量N11=(A)1(BCC)。由(A)1和(BCC)0兩個分量構(gòu)成。一個分量通常包含多個電路狀態(tài)，例如分量(BCC)0包含B和C兩個狀態(tài)。有兩個以上不同狀態(tài)組成的分量稱為非同類分量，由非同類分量構(gòu)成的向量稱為不確定向量，例如N01、N11、N12和N23。
只包含一個狀態(tài)或僅包含多個相同狀態(tài)的分量(例如(A)1和(AA)00)稱為同類分量，由同類分量構(gòu)成的向量稱為同類不確定向量(例如N21和N22)，在同類不確定向量節(jié)點(diǎn)處，總能根據(jù)電路的輸出序列唯一地確定電路達(dá)到的狀態(tài)。所以，由根節(jié)點(diǎn)到同類不確定向量節(jié)點(diǎn)，經(jīng)歷樹枝構(gòu)成的輸入序列稱為引導(dǎo)序列，記為Xh。例如，由N01到達(dá)N22的輸入序列X=01就是圖1電路的一個引導(dǎo)序列。在引導(dǎo)序列Xh=01作用下，若Z=00則狀態(tài)必為B；Z=01狀態(tài)必為A；Z=11狀態(tài)必為D。
只包含一個狀態(tài)的同類分量(例如(A)1、(B)100和(C)10)又稱為平凡不確定分量，全部由平凡不確定分量構(gòu)成的向量稱為平凡不確定向量(例如N38=(B)110(C)111(A)101(D)011)，在平凡不確定向量節(jié)點(diǎn)處，電路雖可能有多個不同狀態(tài)，但根據(jù)輸出序列可以確定電路當(dāng)前狀態(tài)。所以，由根節(jié)點(diǎn)到平凡不確定向量節(jié)點(diǎn)，經(jīng)歷樹枝構(gòu)成的輸入序列稱為區(qū)分序列，記為Xd。例如，由N01到達(dá)N38的輸入序列X=111就是圖1電路的區(qū)分序列。在區(qū)分序列Xd=111作用下，若輸出序列Z=101，則電路狀態(tài)由D到達(dá)A，記為D111→101A；若輸出序列Z=110，則電路狀態(tài)由A到達(dá)B，記為A111→110B；若輸出序列Z=111，則電路狀態(tài)由B到達(dá)C，記為B111→111C；若輸出序列Z=011，則電路狀態(tài)由C到達(dá)D，記為C111→ 011D。區(qū)分序列常用于驗證或確定電路所處的狀態(tài)，區(qū)分序列也是引導(dǎo)序列，但并不是每個時序電路都存在區(qū)分序列。
利用區(qū)分序列可以生成表3是圖1電路在區(qū)分序列Xd=111作用下的電路狀態(tài)引導(dǎo)表。其中：IS是Xd作用前狀態(tài)，F(xiàn)S是作用后的狀態(tài)。
全部由同一狀態(tài)同類分量構(gòu)成的向量(例如N511=(C)11010(C)01000(CC)00000)稱為同類不確定向量，在同類平凡不確定向量節(jié)點(diǎn)處，電路雖可能有多個不同的輸出序列，但電路狀態(tài)是唯一的。所以，由根節(jié)點(diǎn)到同類不確定向量節(jié)點(diǎn)，經(jīng)歷樹枝構(gòu)成的輸入序列稱為同步序列，記為Xs。例如，由N01到N511的輸入序列X=01010就是圖1電路的一個同步序列，在同步序列Xs=01010的激勵下電路由N01到達(dá)N511，無論輸出序列Z=11010、Z=01000或Z=00000電路狀態(tài)都為C。同步序列是一個特殊的引導(dǎo)序列，常用于把電路從未知狀態(tài)引導(dǎo)到一個已知的狀態(tài)起點(diǎn)。
能夠?qū)㈦娐窂囊阎獱顟B(tài)轉(zhuǎn)換到預(yù)定狀態(tài)的輸入序列X稱為轉(zhuǎn)換序列記為Xt，轉(zhuǎn)換序列由轉(zhuǎn)換碼構(gòu)成。由狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖2中可見Xt0=0是圖1電路C0→1A、A0→0C、B0→0C、D0→0B的轉(zhuǎn)換碼；Xt1=1是A1→1D、B1→1A、C1→0B、D1→1C的轉(zhuǎn)換碼。轉(zhuǎn)換序列常用于核實電路狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能，例如：當(dāng)圖1電路已確認(rèn)引導(dǎo)到C狀態(tài)后，在轉(zhuǎn)換序列Xt10=Xt1-Xt0=10激勵下，如果輸出序列Z=00表明電路實現(xiàn)了C1→0B、B0→0C轉(zhuǎn)換。

4 測試序列與狀態(tài)驗證
時序電路狀態(tài)驗證過程通常包括：狀態(tài)引導(dǎo)階段，采用引導(dǎo)序列將電路從未知狀態(tài)引導(dǎo)到預(yù)定狀態(tài)。狀態(tài)驗證階段，采用區(qū)分序列逐一核實電路具有全部狀態(tài)。狀態(tài)轉(zhuǎn)換驗證階段，采用轉(zhuǎn)換序列核實電路具有全部狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能。能夠完成狀態(tài)驗證全部過程的輸入序列，稱為測試序列。在實踐中，測試序列可采用引導(dǎo)序列Xh、區(qū)分序列Xd以及必要的轉(zhuǎn)換序列Xt組成測試序列，如測試序列可為X=Xh-Xd-Xt等。
例如，圖1所示電路最直觀的測試序列可以是X=Xs-4Xd1-4Xt1-2Xt0-Xt10-Xd1-2Xt0。其中，同步序列Xs=01010將電路由來知引導(dǎo)到確定的狀態(tài)C；4組區(qū)分序列Xd1=111分別驗證電路具有D、A、B和C4個狀態(tài)；轉(zhuǎn)換序列4Xt1=1111分別驗證電路有C1→0B、B1→1A、A1→1D、D1→1C狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能；轉(zhuǎn)換序列2Xt0=00分別驗證電路有C1→0A、A0→0C狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能；轉(zhuǎn)換序列Xt10=10驗證電路有C1→0A轉(zhuǎn)換功能；區(qū)分序列Xd1=111將電路由C狀態(tài)引導(dǎo)到D狀態(tài)；轉(zhuǎn)換序列2Xt0=00驗證電路有D0→0B轉(zhuǎn)換功能。至此，圖1電路具有的所有狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能都得到驗證。這樣構(gòu)成的測試序列X=Xs-4Xd1-4Xt1-2Xt0-Xt10-Xd1-2Xt0=01010 111 111 111 111 1111 0010 111 00長度達(dá)30層。
實踐中，在能夠確認(rèn)電路所有狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能的原則上，測試序列長度越短越好。對于圖1電路的測試序列也可以是X=Xs-2Xt0-4Xt1-Xd。其中，同步序列Xs=01010引導(dǎo)電路到C，同時也驗證了電路有C狀態(tài)；轉(zhuǎn)換序列2Xt0=00驗證電路有C0→1A、A0→0C轉(zhuǎn)換功能，同時也驗證電路有A狀態(tài)；轉(zhuǎn)換序列4Xt1=1111驗證電路有C1→0B、B1→1A轉(zhuǎn)換功能，且驗證電路有B狀態(tài)，驗證電路有A1→1D、D1→1C轉(zhuǎn)換功能，且驗證有D狀態(tài)；區(qū)分序列Xd=111引導(dǎo)電路C111→011D到達(dá)狀態(tài)D；轉(zhuǎn)換序列2Xt0=00驗證電路有D0→0B、B0→0C轉(zhuǎn)換。這時測試序列X=01010 00 1111 111 00長度僅為16層。在該測試序列作用下，若電路輸出序列為Z=XXXXX 10 0111 01100(前5個輸出可能是11010或01000或00000之一)，則圖1電路具有A、B、C、D 4個狀態(tài)，并實現(xiàn)了圖2設(shè)定全部狀態(tài)轉(zhuǎn)換功能。

5 結(jié)論
通過建立時序電路的狀態(tài)二叉樹，可以得到該時序電路的測試序列X，在測試序列X的作用下，電路將產(chǎn)生一個輸出序列Z。如果無故障電路在X作用下輸出序列為Zo，有故障電路在X作用下的輸出序列為Zf，顯然Zo≠Zf。在正常序列Zo和故障序列Zf中0、1的個數(shù)和分布規(guī)律不同。因此，檢測輸出序列Z的0、1個數(shù)以及分布規(guī)律就可以確定電路是否有故障。在實踐中并不是所有的時序電路都可以是先找到一個完整的測試序列，有時必須根據(jù)電路在前一個序列作用下的輸出序列來決定繼續(xù)檢測所需的測試序列。