力科示波器基礎(chǔ)應(yīng)用系列之二FFT的前世今生
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關(guān)于傅立葉變換的經(jīng)典著作和文章非常多，但是看到滿篇的復(fù)雜公式推導(dǎo)和羅列，我們還是很難從直觀上去理解這一復(fù)雜的概念，我想對于普通的測試工程師來說，掌握FFT的概念首先應(yīng)該搞清楚這樣幾個問題：(1) 為什么需要FFT (2) 變換究竟是如何進行的 (3) 變換前后信號有何種對應(yīng)關(guān)系(4) 在使用測試工具（示波器或者其它軟件平臺）進行FFT的方法和需要注意的問題 (5) 力科示波器與泰克示波器的FFT計算方法的比較
本文引用地址：http://www.ex-cimer.com/article/201702/338498.htm在這篇文章中我嘗試用更加淺顯的講解，盡量不使用公式推導(dǎo)來說一說FFT的那些事兒。
一, 為什么需要FFT？
首先FFT(快速傅立葉變換)是離散傅立葉變換的快速算法，那么說到FFT，
我們自然要先講清楚傅立葉變換。先來看看傅立葉變換是從哪里來的？
傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是Jean Baptiste
Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時頗具爭議性的命題：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其他審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國科學(xué)學(xué)會屈服于拉格朗日的權(quán)威，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因為怕被推上斷頭臺而一直在逃難。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。
誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。
但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。
為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有其他信號所不具備的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的，且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。
傅立葉變換的物理意義在哪里？
傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。當然這是從數(shù)學(xué)的角度去看傅立葉變換。
那么從物理的角度去看待傅立葉變換，它其實是幫助我們改變傳統(tǒng)的時間域分析信號的方法轉(zhuǎn)到從頻率域分析問題的思維，下面的一幅立體圖形可以幫助我們更好得理解這種角度的轉(zhuǎn)換：
所以，最前面的時域信號在經(jīng)過傅立葉變換的分解之后，變?yōu)榱瞬煌也ㄐ盘柕寞B加，我們再去分析這些正弦波的頻率，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn)FT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。
傅立葉變換提供給我們這種換一個角度看問題的工具，看問題的角度不同了，問題也許就迎刃而解！
二、 變換是如何進行的？
首先，按照被變換的輸入信號類型不同，傅立葉變換可以分為 4種類型：
1、非周期性連續(xù)信號傅立葉變換（Fourier Transform）
2、周期性連續(xù)信號傅立葉級數(shù)(Fourier Series)
3、非周期性離散信號離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4、周期性離散信號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)
下面是四種原信號圖例：
這里我們要討論是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，我們要討論的FFT也只不過是DFT的一種快速的算法。
DFT的運算過程是這樣的：
其中，
X(k)—頻域值
X(n)—時域采樣點
n—時域采樣點的序列索引
k—頻域值的索引
N—進行轉(zhuǎn)換的采樣點數(shù)量
可見，在計算機或者示波器上進行的DFT，使用的輸入值是數(shù)字示波器經(jīng)過ADC后采集到的采樣值，也就是時域的信號值，輸入采樣點的數(shù)量決定了轉(zhuǎn)換的計算規(guī)模。變換后的頻譜輸出包含同樣數(shù)量的采樣點，但是其中有一半的值是冗余的，通常不會顯示在頻譜中，所以真正有用的信息是N/2+1個點。
FFT的過程大大簡化了在計算機中進行DFT的過程，簡單來說，如果原來計算DFT的復(fù)雜度是N2次運算（N代表輸入采樣點的數(shù)量），進行FFT的運算復(fù)雜度是Nlg10（N），因此，計算一個1,000采樣點的DFT，使用FFT算法只需要計算3,000次，而常規(guī)的DFT算法需要計算1,000,000次！
我們以一個4個點的DFT變換為例來簡單說明FFT是怎樣實現(xiàn)快速算法的：
計算得出：
其中的紅色部分在FFT中是必須計算的分量，其他藍色部分不需要直接計算，可以由紅色的分量直接推導(dǎo)得到，比如：
x(1)e-j0 = -1*x(1)e-jπ
x(2)e-j0 = x(2)e-j2π
… …
這樣，已經(jīng)計算出的紅色分量只需要計算機將結(jié)果保存下來用于之后計算時調(diào)用即可，因此大大減少了DFT的計算量。
三、 變換前后信號有何種對應(yīng)關(guān)系？
我們以一個實際的信號為例來說明：
示波器采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結(jié)果。為了方便進行FFT運算，通常N取2的整數(shù)次方。
假設(shè)采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點的復(fù)數(shù)。每一個點就對應(yīng)著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即0Hz），而最后一個點N的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數(shù)為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析精確到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析精確到0.5Hz。如果要提高頻率分辨率，則必須增加采樣點數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。
下面這幅圖更能夠清晰地表示這種對應(yīng)關(guān)系：
變換之后的頻譜的寬度（Frequency Span）與原始信號也存在一定的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)Nyquist采樣定理，F(xiàn)FT之后的頻譜寬度（Frequency Span）最大只能是原始信號采樣率的1/2，如果原始信號采樣率是4GS/s，那么FFT之后的頻寬最多只能是2GHz。時域信號采樣周期（Sample Period）的倒數(shù)，即采樣率（Sample Rate）乘上一個固定的系數(shù)即是變換之后頻譜的寬度，即 Frequency Span = K*（1/ΔT），其中ΔT為采樣周期，K值取決于我們在進行FFT之前是否對原始信號進行降采樣（抽點），因為這樣可以降低FFT的運算量。如下圖所示：
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