CT圖像重建算法的FPGA實(shí)現(xiàn) (一)

1.3.5國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

同類課題所研究的技術(shù)基本上被國外所壟斷，國內(nèi)尚未有人提出，國內(nèi)現(xiàn)在所使用的技術(shù)是利用PC機(jī)上軟件來實(shí)現(xiàn)圖像的重構(gòu)，所需時(shí)間較長，如果用FPGA來實(shí)現(xiàn)的話，速度可以提高數(shù)十乃至上百倍。

1.4研究背景及意義

在當(dāng)今社會(huì)大力發(fā)展醫(yī)療衛(wèi)生條件的背景下，許多醫(yī)院迫切需要先進(jìn)的CT來為患者診斷病情，現(xiàn)在的CT技術(shù)被國外所壟斷，設(shè)備也都在200萬以上，只有極少數(shù)醫(yī)院有能力配備，所以急需研發(fā)具有自主知識產(chǎn)權(quán)的產(chǎn)品，把價(jià)格控制在50萬以內(nèi)。CT的關(guān)鍵技術(shù)之一是快速斷層圖像重建技術(shù)，本課題的立足點(diǎn)就在于利用FPGA的高度并行性，實(shí)現(xiàn)CT斷層圖像重建算法，滿足實(shí)際產(chǎn)品速度要求，為實(shí)現(xiàn)CT國產(chǎn)化準(zhǔn)備，推動(dòng)社會(huì)醫(yī)療衛(wèi)生條件的發(fā)展。

第二章 濾波反投影算法

2.1 濾波反投影算法介紹

盡管傅里葉切片定理提供了斷層成像重建的一個(gè)直接方案，在真正實(shí)現(xiàn)過程中，它提出了一些難題。首先，傅里葉空間中產(chǎn)生的采樣模式不是笛卡兒坐標(biāo)的。傅里葉切片定理說明一次投影的傅里葉變換是二維傅里葉空間中通過原點(diǎn)的一條直線。結(jié)果，不同投影采樣落到極坐標(biāo)柵格上。為了執(zhí)行二維傅里葉變換，這些采樣不得不被插值或重新柵格化到一個(gè)笛卡兒坐標(biāo)中。二維頻率域中的插值不像真實(shí)空間中的插值一樣直接。在真實(shí)空間里，一個(gè)插值誤差局限于像素所在的小區(qū)域。然而，對于頻域插值，這個(gè)特性不再有效，因?yàn)槎S傅里葉空間中每個(gè)采樣表示某一個(gè)空間頻域(在水平和垂直方向上)。于是，在傅里葉空間中一個(gè)單獨(dú)采樣點(diǎn)上產(chǎn)生的誤差會(huì)影響整個(gè)圖像(經(jīng)過傅里葉反變換后)的外貌。為闡明傅里葉域插值的敏感性，進(jìn)行下面的簡單實(shí)驗(yàn)。掃描一個(gè)肩部模體，并在512×512矩陣中重建，矩陣用f(x,y)表示，其中x=0，1，…512，y= 0，1，…，512。下一步，執(zhí)行圖像的二維離散傅里葉變換，得到一個(gè)函數(shù)F(u,v)，其中u=0，1，…，511，v=0，1，…，511。注意F(u,v)是一個(gè)512×512復(fù)數(shù)矩陣。在該矩陣中，F(xiàn)(00)代表圖像的直流成分。如果簡單地進(jìn)行函數(shù)F(u,v)的離散傅里葉反變換，將得到原始圖像f(x,y)。注意函數(shù)F(u,v)是我們試圖采用平行投影進(jìn)行估計(jì)的量值(傅里葉切片定理)。

直接傅里葉域重建的另一缺點(diǎn)是進(jìn)行目標(biāo)重建的困難性。目標(biāo)重建是在CT中常用的技術(shù)，用來檢查物體中一個(gè)小區(qū)域的精密細(xì)節(jié)。如果能以某種方式把重建“聚焦”在感興趣區(qū)，物體的細(xì)節(jié)就可以更好地顯現(xiàn)。采用直接傅里葉重建方法，需要用大量的0填充F(u,v)，以進(jìn)行必要的頻率域插值。傅里葉反變換的大小和目標(biāo)ROI的尺寸成反比。對非常小的ROI，矩陣尺寸龐大以至無法管理。盡管其他技術(shù)可以用來克服其中一些困難，這些技術(shù)的實(shí)現(xiàn)仍不直截了當(dāng)。因此，必須研究傅里葉切片定理的替代實(shí)現(xiàn)方法。濾波反投影算法是目前得到廣泛應(yīng)用的基于變換法的圖像重建算法，它具有重建速度快、空間和密度分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是對投影數(shù)據(jù)的完備性要求較高[7]，從數(shù)學(xué)上講，只有獲得被檢試件所有的Radon變換數(shù)據(jù)(完全投影數(shù)據(jù))后才能精確重建其切片圖像。

2.2 濾波反投影算法公式的推導(dǎo)

我們從傅里葉變換和傅里葉反變換是共扼算子這一眾所周知的事實(shí)開始。圖像函數(shù)f(x,y)可以通過傅里葉反變換從它的傅里葉變換F(u,v)中恢復(fù)，

(2.1)

與推導(dǎo)傅里葉切片定理時(shí)進(jìn)行的坐標(biāo)變換類似，我們從笛卡兒直角坐標(biāo)(u,v)轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)

。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的目的是以更自然的數(shù)據(jù)采集形式表達(dá)數(shù)值F(u,v)。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換如下：

，

， (2.2)

和

(2.3)

將等式(2.2)和(2.3)帶入到(3.1)，得到

(2.4)

利用公式

中描述的傅里葉切片定理，我們用代替，建立如下關(guān)系：

(2.5)

.

對于平行采樣幾何束，在投影采樣中存在一個(gè)微妙的對稱性：

(2.6)

通過研究一組相差180°的平行束的采樣幾何，這個(gè)特性可以很容易理解。兩組投影正好代表同一組射線路徑?；诟道锶~變換的特性，對于相應(yīng)的傅里葉變換對來說，存在一個(gè)簡單關(guān)系：

(2.7)

將等式(2.7)代入等式(2.5)，我們得到下面等式：

(2.8)

通過在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系(s,t)中表達(dá)上面的等式，并利用等式：

.

中指出的關(guān)系，我們得到下面等式：

. (2.9)

這里，是在角度投影的傅里葉變換。內(nèi)部積分是數(shù)值的傅里葉反變換。在空間域，它代表一個(gè)經(jīng)頻域響應(yīng)為的函數(shù)濾波后的投影。我們稱之為“濾波投影”。

如果用標(biāo)記等式(2.9)的內(nèi)部積分所代表的角上的濾波投影：

. (2.10)

等式(2.8)可以下面形式重寫

(2.11)

變量是從點(diǎn)(x,y)到一條通過坐標(biāo)系原點(diǎn)，并與x軸成角的直線的距離。等式(2.11)說明，重建圖像f(x,y)在位置(x,y)，是通過該點(diǎn)的所有濾波投影采樣的累加。另外，我們還可以選擇關(guān)注一個(gè)特定濾波投影采樣，研究它對重建圖像的貢獻(xiàn)。因?yàn)?img src="http://uphotos.eepw.com.cn/fetch/20180719/387976_2_27.jpg" onload="if(this.width>620)this.width=620;" onclick="window.open(this.src)" style="cursor:pointer" />代表與產(chǎn)生投影采樣的射線路徑重疊的一條直線，的強(qiáng)度沿著直線均勻地加到重建圖像。結(jié)果，濾波投影采樣的值沿著整個(gè)直線路徑被“涂抹”或“疊加”。

我們還可以給出濾波反投影方法的一個(gè)直觀解釋?；诟道锶~切片定理，物體的二維傅里葉變換是通過將許多一維傅里葉變換拼起來得到的。理論上，如果假定一次投影的傅里葉變換形狀像一個(gè)切成薄片的“派”，我們可以簡單地把每個(gè)楔子插入適當(dāng)位置，以得到物體的一個(gè)二維傅里葉變換。不幸的是，每個(gè)投影傅里葉變換形狀類似在頻率空間的一個(gè)長條。如果簡單地計(jì)算所有投影傅里葉變換的和(假設(shè)在角度上等間隔)，中心區(qū)域被人為地增強(qiáng)，而外側(cè)區(qū)域數(shù)值不足。為了用條形區(qū)域估計(jì)“派”狀區(qū)域，我們可以給條形傅里葉變換乘以一個(gè)函數(shù)，該函數(shù)在靠近中心位置強(qiáng)度低，靠近邊緣時(shí)強(qiáng)度高。例如，可以將投影的傅里葉變換與該頻率處“派”狀楔子的寬度相乘。如果假設(shè)N個(gè)投影在180°內(nèi)均勻間隔，每個(gè)楔子的寬度在頻率是。權(quán)重函數(shù)的最終作用是加權(quán)長條的累加與“派”狀楔子的累加具有相同的“質(zhì)量”。[8]