控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是因輸入信號(hào)不同而不同的。因此就需要規(guī)定一些典型輸入信號(hào)。通過(guò)評(píng)價(jià)系統(tǒng)在這些典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量和比較系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。在控制工程中通常采用的典型輸入信號(hào)有以下幾種：

1．單位階躍函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s。

2．單位斜坡函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s2。

3．單位加速度函數(shù)：

其拉普拉斯變換為R(s)=1/s3。

4．單位脈沖函數(shù)

其拉普拉斯變換為R(s)=1。

5．正弦函數(shù)：

其中最常用的典型信號(hào)為單位階躍、單位斜坡、單位加速度三種輸入信號(hào)。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)下其實(shí)際輸出值（在實(shí)際工作中常用系統(tǒng)輸出的測(cè)量值代替）與給定值之差。對(duì)穩(wěn)定的單輸入單輸出系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差是時(shí)域中衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)，它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，因此穩(wěn)態(tài)誤差分析是控制系統(tǒng)分析的一項(xiàng)基本內(nèi)容。

設(shè)有如圖3-1所示的系統(tǒng)。它的閉環(huán)傳函為

誤差信號(hào)e(t)和輸入信號(hào)r(t)之間的傳遞函數(shù)是

其中誤差e(t)是輸入信號(hào)和反饋信號(hào)之差。

圖3-1控制系統(tǒng)

終值定理為求穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差提供了一個(gè)簡(jiǎn)便的方法。因?yàn)镋(s)是

則穩(wěn)態(tài)誤差是

3.2.3 靜態(tài)誤差系數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號(hào)為單位階躍、單位斜坡和單位加速度三種典型信號(hào)之一時(shí)，上式分別化為：

單輸入單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一般表示為：

單位階躍函數(shù)：

(3-2)

單位斜坡函數(shù)：

(3-3)

單位加速度函數(shù)：

(3-4)

現(xiàn)定義誤差系數(shù)如下：

靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp:

(3-5)

靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv：

(3-6)

靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka：

(3-7)

將（3-5），（3-6）及（3-7）分別代入（3-2），（3-3）及（3-4）得

單位階躍函數(shù)：

(3-8)

單位斜坡函數(shù)：

(3-9)

單位加速度函數(shù)：

(3-10)

下面進(jìn)一步考察誤差系數(shù)與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的關(guān)系。

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一般寫(xiě)成

(3-11)

的形式，式中K是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)比例系數(shù)。分母中的因子sυ表明開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含有υ個(gè)積分單元。將系統(tǒng)按照υ=0，1，2分別將其分為0型，1型，2型。在表3-1中列出了按照式（3-2），（3-3）及（3-4）求得的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。

	0型系統(tǒng)	1型系統(tǒng)	2型系統(tǒng)
（階躍輸入）r(t)=1(t)		0	0
（斜坡輸入）r(t)=t/td>	∞		0
（加速度輸入）r(t)=t2/2	∞	∞

誤差系數(shù)Kp、Kv和Ka描述了系統(tǒng)減少或消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，系數(shù)值愈大，則給定穩(wěn)態(tài)誤差終值愈小。一般來(lái)說(shuō)，在保持瞬態(tài)響應(yīng)在一個(gè)允許的范圍內(nèi)時(shí)，希望增加誤差系數(shù)，如果在靜態(tài)速度誤差系數(shù)和加速