控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

務(wù)請(qǐng)注意，使用拉普拉斯變換終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差終值的條件是：sEr(s)在s平面右半部及虛軸上除了坐標(biāo)原點(diǎn)是孤立奇點(diǎn)外必需解析，亦即sEr(s)的全部極點(diǎn)除坐標(biāo)原點(diǎn)外應(yīng)全部分布在s平面的左半部。例如給定輸入為正弦函數(shù)時(shí)

其象函數(shù)

在s平面的全部虛軸上不解析，就不能使用終值定理去求取系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差終值。

3.2.4 動(dòng)態(tài)誤差

靜態(tài)誤差系數(shù)的一個(gè)明顯特點(diǎn)，是對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)只有一個(gè)系數(shù)呈現(xiàn)有限值，其它的系數(shù)不是零就是無窮大。因而，通過靜態(tài)誤差系數(shù)求得的靜態(tài)誤差或是零，或是有限的非零值，或是無窮大。所以，誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律不能運(yùn)用這種系數(shù)求出。但有些時(shí)候人們關(guān)心的往往是誤差隨時(shí)間變化的情況，這種誤差表現(xiàn)了誤差隨時(shí)間變化的規(guī)律，稱之為動(dòng)態(tài)誤差。本節(jié)介紹的動(dòng)態(tài)誤差將提供一些關(guān)于誤差怎樣隨時(shí)間變化的信息，即，系統(tǒng)在給定的輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差是否會(huì)與t，t2等成比例地增加。

動(dòng)態(tài)誤差不同但穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)相同的系統(tǒng) 首先論證兩個(gè)具有不同動(dòng)態(tài)誤差的系統(tǒng)卻能夠有相同的靜態(tài)誤差系數(shù)。設(shè)以下的兩個(gè)系統(tǒng)：

其靜態(tài)誤差系數(shù)由下列各式給出:
Kp1=∞， Kp2=∞
Kv1=10， Kv2=10
Ka1=0， Ka2=0

于是，對(duì)于同樣的階躍輸入，兩個(gè)系統(tǒng)有相同的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)然，對(duì)于斜坡和拋物線輸入的穩(wěn)態(tài)誤差，該結(jié)論也同樣適用。這個(gè)分析表明，不能根據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)去估算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差。

動(dòng)態(tài)誤差系數(shù) 現(xiàn)在引進(jìn)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)來描述動(dòng)態(tài)誤差。通過用E(s)/R(s)的分母多項(xiàng)式除它的分子多項(xiàng)式的方法，把E(s)/R(s)展開成下列s的升冪級(jí)數(shù)：

冪級(jí)數(shù)的系數(shù)K1、K2、K3、…被定義為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。對(duì)N型系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)由下式給出：

其中
K1=動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)；
K2=動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)；
K3=動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)。

需要說明的是，在一個(gè)給定系統(tǒng)中，動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是與靜態(tài)誤差系數(shù)有關(guān)的。例如：設(shè)下列具有單位反饋的0型系統(tǒng)：

其靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)分別是

其中
Kp=K
Kv=0
Ka=0

由于E(s)/R(s)可展開成

所以，依據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)給出的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)如下：
k1=1+K=1+Kp

動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)由下式給出：

當(dāng)E(s)寫成下面的形式時(shí)：
E(s)= R(s)+ sR(s)+ s2R(s)+…

動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的優(yōu)點(diǎn)就更為清楚。這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂域是s=0的鄰域，這相當(dāng)于在時(shí)域內(nèi)的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0的鄰域，這相當(dāng)于在時(shí)域內(nèi)的t=∞。假定所有的初始條件為零，并且忽略掉在t=0時(shí)的脈沖，則對(duì)應(yīng)的時(shí)間解（即穩(wěn)態(tài)誤差）由下式求出：

這樣，由輸入函數(shù)和它的導(dǎo)數(shù)所引起的穩(wěn)態(tài)誤差能根據(jù)動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)求出，這便是動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。

如果E(s)/R(s)圍繞原點(diǎn)展開成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)系數(shù)就表示系統(tǒng)在緩慢變化的輸入作用下的動(dòng)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是計(jì)算任意輸入作用下的誤差信號(hào)和穩(wěn)態(tài)誤差的簡(jiǎn)便方法。用這個(gè)方法就不需要實(shí)際去解系統(tǒng)的微分方程。

例3-9

設(shè)前向傳遞函數(shù)為G(s)= 的單位反饋控制系統(tǒng)，求出它的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。還要求出當(dāng)輸入量為r(t)=a0+a1t+a2t2時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

對(duì)于該系統(tǒng) = =0.1s+0.09s2-0.019s3+…

即 =0.1 (t)+0.09 (t)-0.019 (t)+…

則動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是 k1=∞

k2=1/0.1=10

k3=1/0.09=11.1

由于r(t)由下式給出：r(t)=a0+a1t+a2t²

得(t)=a1+a2t，(t)=2a2，(t)=0

于是，穩(wěn)態(tài)誤差為

= [0.1(a1+a2t)+0.09(2a2)]= (0.1a1+0.18a2+0.2a2t)

只要不是a2=0，穩(wěn)態(tài)誤差就變?yōu)闊o窮大。

由以上分析可知，如果E(s)/R(s)圍繞原點(diǎn)展開成一個(gè)冪級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)系數(shù)就表示系統(tǒng)在緩慢變化的輸入作用下的動(dòng)態(tài)誤差。動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是計(jì)算任意輸入作用下的誤差信號(hào)和穩(wěn)態(tài)誤差的簡(jiǎn)便方法。用這個(gè)方法就不需要實(shí)際去解系統(tǒng)的微分方程。