頻率響應(yīng)法--極坐標圖

如果要比較精確地計算和繪制極坐標圖，一般來說是比較麻煩的，為此可用頻率特性的另一種圖示法：對數(shù)坐標圖。對數(shù)坐標圖法不但計算簡單，繪圖容易，而且能直觀地表現(xiàn)開環(huán)增益、時間常數(shù)等參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。

一般對數(shù)坐標圖由兩部分組成：一張是對數(shù)幅頻特性圖，它的縱坐標為 ，單位是分貝，用符號dB表示。通常為了書寫方便，把 用符號 表示。另一張是相頻圖。兩張圖的縱坐標都是按線性分度，單位分別為dB和 ，橫坐標是角頻率 。

為了更好地體現(xiàn)開環(huán)系統(tǒng)各頻段的特性，可對橫坐標采用 的對數(shù)坐標分度，從而形成了半對數(shù)坐標系。這對于擴展頻率特性的低頻段，壓縮高頻段十分有效。在以 分度的橫坐標上，1到10的距離等于10到100的距離，這個距離表示十倍頻程，用符號dec表示。對數(shù)幅頻特性的“斜率”一般用分貝/十倍頻（dB/dec）表示。對數(shù)坐標圖又稱伯德圖(Bode圖)。

用伯德圖表示的頻率特性有如下的優(yōu)點：

1)把幅頻特性的乘除運算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運算。

2)在對系統(tǒng)作近似分析時，一般只需要畫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，從而大大簡化了圖形的繪制。

3)用實驗方法，將測得系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）頻率響應(yīng)的數(shù)據(jù)畫在半對數(shù)坐標紙上。根據(jù)所作出的曲線，容易估計被測系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)。

在Matlab控制工具箱中，亦有專門的函數(shù)用于繪制Bode圖：Bode函數(shù)。同時為繪制開環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性的漸近線，我們編制了畫漸近線的作圖函數(shù)：Bode_asymp。有關(guān)它們的使用方法將結(jié)合例題進行說明。

5.3.1 典型環(huán)節(jié)的伯德圖

1．比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)K的對數(shù)幅頻特性是一高度為 dB的水平線，它的相角為零度，如圖5－18所示。改變開環(huán)頻率特性表達式中K的大小，會使對數(shù)幅頻特性升高或降低一個常量，但不影響相角的大小。

(5-37)

顯然，當 時， 位于橫軸上方；當 時， 位于橫軸上；當 時， 位位于橫軸下方。

2．一階環(huán)節(jié)

一階環(huán)節(jié) 的對數(shù)幅頻和相頻表達式分別為

(5-38)

(5-39)

其中

。

當 時，略去式（5－38）中的1，則得 ，表示 高頻部分的漸近線是一條斜率為－20dB/dec的直線，當輸入信號的頻率每增加十倍頻程時，對應(yīng)輸出信號的幅值便下降20dB。圖5－19所示的是精確對數(shù)幅頻特性及其漸近線和精確的相頻曲線，其中T＝1，Matlab命令如下：

G=tf(1,[1,1]);

[x0,y0,w]=bode(g),[x,y]=bode_asymp(g,w);

subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:)),x,y)

subplot(212),semilogx(w,y0(:))

不難看出，兩條漸近線相交點的頻率 ，這個頻率稱為轉(zhuǎn)折頻率，又名轉(zhuǎn)角頻率。如果 環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性能用其兩條漸近線似表示，則使作圖大為簡化。問題是，這種近似表示所產(chǎn)生的誤差有多大？

由圖5－19可見，最大的幅值誤差產(chǎn)生在轉(zhuǎn)折頻率 處，它近似等于－3dB－22a和5 －22b。如果傳遞函數(shù)中含有 個積分環(huán)節(jié)，即 ，則它的對數(shù)幅頻和相頻表達式可分別寫成

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