基于FPGA的CORDIC算法的改進(jìn)及實(shí)現(xiàn)

坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)計(jì)算機(jī)CORDIC(The Coordinate Rotational Digital Computer)算法是一種用于計(jì)算一些常用的基本運(yùn)算函數(shù)和算術(shù)操作的循環(huán)迭代算法。其基本思想是用一系列與運(yùn)算基數(shù)相關(guān)的角度的不斷偏擺來(lái)逼近所需旋轉(zhuǎn)的角度,從廣義上講它是一個(gè)數(shù)值型計(jì)算逼近的方法。由于這些固定的角度與計(jì)算基數(shù)有關(guān)，運(yùn)算只有移位和加/減。若用傳統(tǒng)的乘、除等計(jì)算方法,需要占用大量的硬件資源，甚至算法是難以實(shí)現(xiàn)的，這樣就不能滿足設(shè)計(jì)者的要求。CORDIC算法正是由此產(chǎn)生的，它僅在硬件電路上用到了移位和加/減，大大節(jié)約了硬件資源,使得這些算法在硬件上可以得到較好地實(shí)現(xiàn),從而滿足設(shè)計(jì)者的要求。根據(jù)它的迭代原理，CORDIC單元可以用流水線結(jié)構(gòu)表示，使向量旋轉(zhuǎn)并行處理，大大加快了蝶形運(yùn)算的速度[1]。但是CORDIC運(yùn)算單元的多級(jí)迭代也占用了大量的芯片資源，尤其是在使用多個(gè)蝶形進(jìn)行FFT處理時(shí)，使用的資源是非常巨大的，為了盡量降低資源占用，對(duì)CORDIC流水線進(jìn)行了結(jié)構(gòu)上的改進(jìn)。
1 CORDIC算法原理
1959年，VOLDER開(kāi)發(fā)了一類計(jì)算三角函數(shù)、雙曲函數(shù)的算法，其中包括指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算。此算法的基本思想是用一系列固定的與運(yùn)算基數(shù)相關(guān)的角度不斷偏擺從而逼近所需的角度。從廣義上講它是提供一個(gè)數(shù)值計(jì)算的逼近方法。由于這些固定的角度只與計(jì)算基數(shù)有關(guān)，運(yùn)算只有移位和加減。CORDIC算法雖然可以實(shí)現(xiàn)很多基本函數(shù)，但一開(kāi)始并沒(méi)有引起人們很大的注意，只是CAGGETT用它來(lái)實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制和十進(jìn)制的轉(zhuǎn)換。整個(gè)60年代沒(méi)什么進(jìn)展，直到1971年WALTHER提出統(tǒng)一的CORDIC算法，加上VLSI技術(shù)的不斷發(fā)展，CORDIC算法才越來(lái)越受到人們的重視，并展示出廣泛的應(yīng)用前景[2]。CORDIC算法已被廣泛用作現(xiàn)代信號(hào)處理各種算法實(shí)現(xiàn)中的運(yùn)算單元，諸如離散傅里葉變換、矩陣的分解、矩陣特征值的求解、場(chǎng)分解、線性預(yù)測(cè)參數(shù)的求解等。
如圖1所示，一對(duì)直角坐標(biāo)軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度A（點(diǎn)M相對(duì)于坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)），點(diǎn)M的坐標(biāo)從(x0，y0)變?yōu)?x，y)[3-6]。

為了滿足FFT在速度上的要求，CORDIC可以設(shè)計(jì)成流水線的形式。將需要旋轉(zhuǎn)的角度加到Z0數(shù)據(jù)通道，通過(guò)Z1與固定角度相加減產(chǎn)生所取的值。需要旋轉(zhuǎn)的(x0，y0)向量在各級(jí)迭代中旋轉(zhuǎn)方向。Zn通過(guò)多次迭代，趨近于零，向量旋轉(zhuǎn)到相應(yīng)角度。如果在FFT的蝶形單元中用CORDIC代替復(fù)乘單元，只需要將數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部分別加到x0和y0通道，將復(fù)乘系數(shù)作為角度從Z0處輸入，達(dá)到了乘以的目的。實(shí)際應(yīng)用中將FFT使用的角度值存儲(chǔ)在ROM中，由地址發(fā)生器控制，在計(jì)算時(shí)將相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度讀入CORDIC中即可。使用CORDIC算法可以方便快捷地計(jì)算FFT蝶形，但是由于迭代次數(shù)多，導(dǎo)致耗費(fèi)資源也比較多。
將CORDIC流水線形式進(jìn)行改進(jìn)，如圖3所示，需要旋轉(zhuǎn)的向量的實(shí)部和虛部分別加到X0和Y0數(shù)據(jù)通道上，系數(shù)輸入到D觸發(fā)器中與向量保持同步，用來(lái)控制向量在各級(jí)迭代中旋轉(zhuǎn)的方向。向量經(jīng)多次迭代旋轉(zhuǎn)到相應(yīng)角度[7-8]。

3 CORDIC的旋轉(zhuǎn)系數(shù)
按照改進(jìn)后CORDIC的結(jié)構(gòu)，需要事先求出CORDIC的旋轉(zhuǎn)系數(shù)。根據(jù)CORDIC 算法的迭代原理以及此結(jié)構(gòu)的具體情況，使用 MATLAB 語(yǔ)言編寫程序求出各級(jí)旋轉(zhuǎn)系數(shù)，存在ROM中。時(shí)序仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4是利用改進(jìn)的CORDIC算法計(jì)算的結(jié)果。從仿真圖可以看出：當(dāng)輸入不同的迭代系數(shù)C時(shí)，就可以計(jì)算出不同的結(jié)果。
4 FFT處理器的仿真和測(cè)試
在完成了FFT的整體設(shè)計(jì)和具體模塊設(shè)計(jì)之后，選用ALTERA公司CycloneII系列的EP2C35F672C6來(lái)實(shí)現(xiàn)整個(gè)FFT處理器，并對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行了時(shí)序仿真和硬件仿真[9-10]。
(1)直流信號(hào)的測(cè)試
使用MATLAB產(chǎn)生一個(gè)直流信號(hào)：i=1:256，x(i)=50。輸出計(jì)算結(jié)果和MATLAB的計(jì)算結(jié)果比較如圖5所示，MATLAB計(jì)算的直流信號(hào)FFT結(jié)果虛部全為0，實(shí)部只有一個(gè)值即：X(0)=14 000；FFT處理器的計(jì)算結(jié)果也一樣：X(0)=6 000，如圖6所示。因?yàn)檫\(yùn)用CORDIC算法一方面使運(yùn)算每一級(jí)的結(jié)果擴(kuò)大了1.65倍，另一方面為了減少誤差和防止溢出，在FFT處理器的各級(jí)都進(jìn)行了1/2的截尾處理。但是這樣的處理不會(huì)影響頻譜的顯示。

(2)三角波信號(hào)的測(cè)試
仍然使用MATLAB：i=1:128，x(i)=i；(28+i)=128，產(chǎn)生一個(gè)三角波信號(hào)。MATLAB的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖7和圖8，F(xiàn)FT 處理器中輸出計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖9和圖10。由于FFT 處理器對(duì)各級(jí)進(jìn)行了放大和截尾處理，所以為了便于比較，將FFT處理的結(jié)果進(jìn)行了還原(即除以1.65^3/16)，通過(guò)圖對(duì)實(shí)部和虛部進(jìn)行比較，可以證明計(jì)算結(jié)果基本一致。

采用CORDIC算法以較少的資源實(shí)現(xiàn)了快速乘法器，通過(guò)增加CORDIC運(yùn)算單元的處理位數(shù)，減少了算法的誤差。設(shè)計(jì)使用16位寬，CORDIC單元的誤差不大于2-14，有效位數(shù)為13位。FFT有限字長(zhǎng)效應(yīng)長(zhǎng)生量化誤差，主要來(lái)自輸入量化誤差、系統(tǒng)量化誤差和運(yùn)算量化誤差。從仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，達(dá)到了預(yù)期目的。
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