FFT、PFT和多相位DFT濾波器組瞬態(tài)響應(yīng)的比較

　　引言

　　濾波器組頻率響應(yīng)的研究是一個非常復(fù)雜的課題。這方面的大多數(shù)文章只研究穩(wěn)定狀態(tài)下的響應(yīng)，事實上，雷達(dá)和其它突發(fā)方式的信號具有瞬時的特性。因此，了解濾波器組的瞬時性能是非常重要的。一般而言，頻率分辨特性越好，穩(wěn)定下來需要的時間越長。這是因為越是陡峭的濾波器，其需要的抽頭就越多、沖激響應(yīng)時間越長。因此，在穩(wěn)定期間，濾波器抽頭沒有充滿，相鄰信道的頻率響應(yīng)實際上比非加權(quán)的FFT濾波器組還要差。

　　本文將對FFT和多相位DFT濾波器組進(jìn)行比較，包括穩(wěn)定狀態(tài)和瞬時條件的情況。同時也簡要地分析了過抽樣和所謂的“最小相位”濾波器的內(nèi)容。

　　濾波器組穩(wěn)定狀態(tài)下的頻率響應(yīng)

　　頻率響應(yīng)的比較

　　眾所周知，管道FFT的有效濾波器響應(yīng)是Sinx/x (Sinc)函數(shù)，對很多應(yīng)用，它不能提供足夠的相鄰信道抑制能力。使用簡單的窗口函數(shù)，比如Hanning, Kaiser, Blackman-Harris等，可改善濾波器的旁瓣抑制，代價是主瓣寬度減小。通過設(shè)計適當(dāng)?shù)臑V波器組，比如PFT和多相位DFT,可以改善頻率響應(yīng)特性。

　　有效噪聲帶寬

　　濾波器性能的另一個重要參數(shù)是有效噪聲帶寬(ENB)。表1給出了幾種濾波器組的比較。

　　由表1可知，Blackman-Harris窗口加權(quán)的FFT具有很好的旁瓣抑制，但在信噪比(S/N)上損失超過3dB ；而一個8抽頭多相位DFT(如下面要說明的一個8倍變換長度的窗口)具有良好的旁瓣抑制和低的有效噪聲帶寬，信噪比損失只有1dB 。

　　一般時域考慮

　　時域抽樣窗口

　　對簡單的窗口抽樣，窗口中的抽樣點數(shù)目等于它自身的變換長度。為了獲得更好的濾波效果，需要使窗口中的抽樣點數(shù)目大于變換長度。理論上，窗口的大小可以為任意長度。在多相位DFT當(dāng)中，它通常是變換長度的整數(shù)倍(2x，3x等)，但是在WOLA實現(xiàn)中，它可以是任意長度。比方說，一個1024子帶的濾波器組可能需要4096個輸入抽樣(4倍幀長度)作為第一個全輸出的幀。對于PFT濾波器組，需要的抽樣點數(shù)目等同于級聯(lián)濾波器的沖激響應(yīng)，但實際效果類似于獲得第一個全輸出幀需要的抽樣點數(shù)目，遠(yuǎn)超過了幀的長度。

　　過抽樣

　　影響處理吞吐量速率的另一個因素是輸出濾波器需要的過抽樣程度。即使獲得臨界抽樣(抽樣速率正好等于奈奎斯特速率)也需要交迭處理。使用上面的例子，形成1024子帶的第一個全輸出幀需要4096個抽樣。要實現(xiàn)臨界抽樣就意味著1024子帶的下一幀在時間上必須與前一幀相鄰，并且輸出抽樣速率必須等于輸入抽樣速率。這可以通過下一組4096個抽樣點的起始延時1024個抽樣點、并進(jìn)行4次交迭處理來實現(xiàn)。要實現(xiàn)過抽樣，需要增加交迭的次數(shù)。再用以上的例子，2倍的過抽樣將需要4096個抽樣的延時，而通過8次交迭處理，僅需512個抽樣即可滿足上述要求。PFT通常采用2倍的過抽樣。

　　過抽樣的程度由新抽樣的數(shù)目M(每一次新變換的參數(shù))決定。M的值越小，過抽樣因子越大。

　　瞬態(tài)分析

　　一般參數(shù)

　　盡管多相位、WOLA 或 PFT濾波器組在穩(wěn)態(tài)條件(如穩(wěn)定的信號條件和所有的濾波器抽頭充滿)給出了很好的相鄰信道抑制性能，瞬態(tài)響應(yīng)卻是另外一種情況。在以下的討論中，使用的一般參數(shù)是：

　　子帶的數(shù)目 = 1024
　　輸入抽樣速率=102.4 MS/s(復(fù)數(shù))
　　輸出抽樣速率 = 204.8 MS/s (2倍過抽樣)
　　多相位抽頭的數(shù)目=5(等同5120點窗口)
　　濾波器阻帶抑制 = -85 dB
　　濾波器通帶紋波 = 0.2 dB(峰—峰)
　　濾波器交迭 = 75%
　　最后一個參數(shù)用來測量濾波器的截止率。濾波器被設(shè)計成子帶的邊緣內(nèi)都是平坦的，然后進(jìn)入阻帶，與相鄰子帶的寬度有75%的交迭。

　　瞬態(tài)的結(jié)果由一個正弦波輸入的階梯函數(shù)產(chǎn)生，頻率范圍從中心頻率到半個子帶的偏移。它給出了對于FFT的最差的頻譜泄漏。

　　下面將介紹歸一化的功率譜(10*Log10{I2+Q2})，描述在2倍過抽樣速率(在這種情況下速率是204.8MS/s)情況下的管道輸出。一個單獨的1024抽樣的幀包含了從蠪s/2 到 +Fs/2的交織頻率子帶，這里Fs是輸入復(fù)數(shù)抽樣速率。

　　FFT瞬態(tài)響應(yīng)

　　圖1給出了非加權(quán)FFT的瞬態(tài)響應(yīng)。圖中沒有表示在第一次輸出前需要采集1024個抽樣和實際硬件處理帶來的任何其它延時的“廢棄”時間。因為它是2倍過抽樣，第一個1024點的幀還沒有達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。這可以由以下的事實說明：第一個輸出幀在5ms內(nèi)產(chǎn)生(1024個點以204.8MS/s 的抽樣速率產(chǎn)生)，而輸入抽樣速率是102.4MS/s ，這意味著只有512個抽樣是有用的(剩余的為0)。

圖1 2倍過抽樣、非加權(quán)、1024子帶管道FFT瞬態(tài)響應(yīng)