用頻率采樣法設計FIR濾波器

　　有限長脈沖響應(FIR)數(shù)字濾波器由于設計靈活，濾波效果好以及過渡帶寬易控制，因此在數(shù)字信號處理領域得到了廣泛的應用。FIR數(shù)字濾波器的典型設計方法主要有窗函數(shù)法和頻率采樣法。正確理解和掌握這兩種設計方法是學習FIR數(shù)字濾波器的一個重要環(huán)節(jié)。用窗函數(shù)法進行FIR濾波器設計的相關問題，目前的教材講解較為細致，這里不再贅述。本文主要探討用頻率采樣法設計FIR數(shù)字濾波器的相關問題，主要包括設計原理、性能分析、線性相位條件及設計中應注意的問題等幾個方面。

　　1 設計原理及濾波器性能分析

　　頻率采樣法是從頻域出發(fā)，對給定的理想濾波器的頻響

進行N點等間隔采樣，即

，然后以此Hd(k)作為實際FIR濾波器的頻率特性采樣值H(k)，即令：

　　由DFT定義，可以用這N個頻域的采樣值H(k)來惟一確定FIR的單位脈沖響應h(n)，即：

　　下面對設計出的濾波器頻率響應特性進行分析。由頻域采樣定理中的內插公式可以知道，利用這N個頻域采樣值H(k)同樣可以求得FIR濾波器的頻率響應

，這個

將逼近理想濾波器的頻響

。

的內插公式為：

　　從式(5)可以看到，在各頻率采樣點上，設計的濾波器，實際的頻率響應嚴格地與理想濾波器的頻率響應數(shù)值相等，即

。但是在采樣點之間的頻率響應是由各采樣點的加權內插函數(shù)疊加而形成的，因而有一定的逼近誤差。該誤差大小取決于理想頻率響應的形狀，理想頻響特性變化越平緩，內插值越接近理想值，逼近誤差越小;反之，如果采樣點之間的理想頻響特性變化越陡，則內插值與理想值之間的誤差越大，因而在理想濾波器不連續(xù)點的兩邊，就會產(chǎn)生尖峰，而在通帶和阻帶就會產(chǎn)生波紋。用頻率采樣法設計的實際濾波器頻率響應如圖1所示。由圖1可知，實際濾波器的阻帶衰減取決于內插函數(shù)第一旁瓣幅度值的大小，其大小決定了所設計的濾波器的阻帶性能。

　　2 線性相位條件

　　FIR濾波器的最大優(yōu)點是嚴格的線性相位特性。下面討論為實現(xiàn)線性相位，在頻域內采樣得到的Hd(k)應滿足什么條件。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)

是實序列，且滿足h(n)=±h(N-1-n)，即h(n)關于對稱，其中N為濾波器的長度。以第一類線性相位條件h(n)=h(N-1-n)(偶對稱)為基礎來推導頻域采樣Hd(k)滿足的條件。

　　理想濾波器的頻率響應可以表示為：

　　為實現(xiàn)第一類線性相位條件，相位函數(shù)θ(ω)和幅度函數(shù)Hg(ω)應分別滿足：

　　式(10)和式(11)就是頻率采樣值Hd(k)滿足第一類線性相位的條件。關于第二類線性相位的條件這里就不再推導，具體公式可參閱相關的教科書。

　　3 設計實例及性能分析

　　現(xiàn)以低通濾波器為例，說明用頻率采樣法設計FIR線性濾波器的一般步驟及設計中應注意的問題。要求截止頻率ωc=0.2π rad/s，采樣點數(shù)為N=20。設計步驟如下：

　　第一步：確定希望逼近的理想濾波器的頻率響應

　　第二步：在頻域內對

進行N點等間隔采樣，利用頻率采樣設計公式求頻率采樣值Hd(k)，采樣間隔△ω=2π/N=O.1 π，這樣在通帶內共有3個采樣點，分別是k=0，1，2。利用頻率采樣設計式(10)和式(11)，可以得到：

　　第三步：用離散傅里葉逆變換求得要設計的實際濾波器的單位脈沖響應h(n)：