有源濾波器中的相位響應(yīng)——低通和高通響應(yīng)

　　本文旨在考察濾波器傳遞函數(shù)本身的相位偏移。雖然濾波器主要是針對幅度響應(yīng)而設(shè)計的，但在延時仿真、級聯(lián)濾波器級，特別是過程控制環(huán)路等應(yīng)用中，相位響應(yīng)可能非常重要。

　　本文將集中探討低通和高通響應(yīng)。我們先來回顧一下，有源濾波器的傳遞函數(shù)可以視為濾波器傳遞函數(shù)和放大器傳遞函數(shù)的級聯(lián)響應(yīng)(圖1)。

　　圖1.作為兩個傳遞函數(shù)級聯(lián)的濾波器

　　首先，我們將重新考察一下傳遞等式的相位響應(yīng)。

　　對于單極點(diǎn)低通情況，傳遞函數(shù)的相移為：

　　在等式中，?表示弧度頻率(=2πf弧度/秒;1 Hz=2π弧度/秒)，表示濾波器上的弧度中心頻率。中心頻率也可稱為截止頻率。就相位而言，中心頻率指相移處于其范圍50%時的頻率。由于弧度頻率當(dāng)作一個比率使用，因此，頻率比(f/fo)可以方便地替代。

　　圖2(左軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對等式1進(jìn)行了評估。由于單極點(diǎn)低通 的相移范圍為90°(0°至90°)，因此，中心頻率的相移為–45°。當(dāng)時，歸一化中心頻率為1。

　　圖2.單極點(diǎn)低通濾波器(左軸)和高通濾波器(右軸)在中心頻率為1時的相位響應(yīng)。

　　類似地，單極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)計算公式為：

　　圖2(右軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對等式2進(jìn)行了評估。中心頻率(= 1)的相移為+45°。

　　如果低通 通帶定義為低于截止頻率的頻率，高通通帶定義為高于中心頻率的頻率，注意，最低相移(0°至45°)處于通帶中。相反，最高相移(45°至90°)出現(xiàn)在阻帶中(高于低通截止頻率和低于高通截止頻率的頻率)。

　　在低通情況下，濾波器的輸出落后于輸入(負(fù)相移);在高通情況下，輸出先于輸入(正相移)。圖3展示的是下列波形：輸入正弦波信號(中部軌跡)、1 kHz截止單極點(diǎn)高通濾波器輸出(頂部軌跡)和1 kHz截止單極點(diǎn)低通濾波器輸出(底部軌跡)。信號頻率也為1 kHz——兩個濾波器的截止頻率。45°的波形超前和滯后情況顯而易見。

　　圖3.單極點(diǎn)高通濾波器(頂部軌跡)和低通濾波器(底部軌跡)的輸入(中部軌跡)和輸出。

　　對于二階低通情況，傳輸函數(shù)的相移近似值為：