有源濾波器中的相位響應(yīng)——低通和高通響應(yīng)

　　圖4(左軸)在中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程的范圍內(nèi)對該等式(= √2 = 1.414)進(jìn)行了評估。此處，中心頻率為1，相移為-90°。

　　圖4.雙極點(diǎn)低通濾波器(左軸)和高通濾波器(右軸)在中心頻率為1時的相位響應(yīng)。

　　在等式3中，(濾波器的阻尼比)為Q的倒數(shù)(即Q=1/α)。它決定著幅度(和瞬態(tài))響應(yīng)的幅度峰值以及相變的銳度。α為1.414時，表示雙極點(diǎn)巴特沃茲(最平坦)響應(yīng)。

　　雙極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)可通過下式計算其近似值：

　　圖4(右軸)對該式進(jìn)行了評估，其中，=1.414，范圍為中心頻率以下二十倍頻程至中心頻率以上二十倍頻程。中心頻率(= 1)的相移為90°。

　　圖2和圖4采用的是單曲線，因為高通和低通相位響應(yīng)類似，僅相移180°(π弧度)。這等于改變相位的符號，使低通濾波器的輸出滯后，并使高通濾波器領(lǐng)先。

　　順便提一下，實踐中，高通濾波器實際上是寬帶通帶濾波器，因為放大器的響應(yīng)會引入至少一個低通極點(diǎn)。

　　圖5所示為一個雙極點(diǎn)低通濾波器的相位響應(yīng)和增益響應(yīng)，表示為Q的函數(shù)。傳遞函數(shù)表明，相位變化可能分布在較寬的頻率范圍中，并且變化范圍與電路Q成反比。雖然本文主要討論相位響應(yīng)，但是，相位變化率與幅度變化率之間的關(guān)系也是值得考慮的。

　　注意，每個雙極點(diǎn)段都會提供一個最大180°的相移，并且在極端情況下，–180°的相移(雖然滯后360°)與180°的相移具有相同的屬性。為此，多級濾波器往往在有限范圍內(nèi)繪制其曲線圖，比如180°至–180°，以提高圖形的讀取精度(見圖11和圖13)。在這種情況下，我們必須認(rèn)識到，圖中繪制的角度實際上為真實角度±m×360°。盡管在這種情況下，圖的頂部和底部(曲線圖相移±180°)似乎存在不連續(xù)問題，但實際相位角度的變化是非常平滑的，并且呈單調(diào)性。

　　圖5.雙極點(diǎn)低通

　　濾波器段的相位和幅度響應(yīng)(為Q的函數(shù))。

　　圖6所示為雙極點(diǎn)高通濾波器在不同Q下的增益和相位響應(yīng)。傳遞函數(shù)表明，180°的相變可能發(fā)生在較大的頻率范圍內(nèi)，并且變化范圍與電路的Q成反比。另外要注意的是，曲線的形狀是十分相似的。具體地，相位響應(yīng)具有相同的形狀，只是范圍有所不同。

　　圖6.雙極點(diǎn)高通

　　濾波器段的相位和幅度響應(yīng)(為Q的函數(shù))。

　　放大器傳遞函數(shù)

　　放大器的開環(huán)傳遞函數(shù)基本上就是單極點(diǎn)濾波器的開環(huán)傳遞函數(shù)。如果是反相放大器，實際上是插入180°的額外相移。放大器的閉環(huán)相移一般忽略不計，但是，如果帶寬不足，就可能影響復(fù)合濾波器的總傳遞函數(shù)。本文隨機(jī)選擇了AD822以便對濾波器進(jìn)行仿真。本文展示了對復(fù)合濾波器傳遞函數(shù)的部分影響，但只是在較高頻率下的影響，因為維持其增益和相移的頻率比濾波器本身的角頻要高得多。AD822的開環(huán)傳遞函數(shù)(摘自數(shù)據(jù)手冊)如圖7所示。

　　圖7.AD822波特圖增益和相位。

　　示例1：1 kHz、5極點(diǎn)0.5 dB切比雪夫低通濾波器

　　作為例子，我們將考察一款1 kHz、5極點(diǎn)0.5 dB切比雪夫低通濾波器。做出該隨機(jī)選擇的幾個原因：

　　1) 與巴特沃茲情況不同，各段的中心頻率都不相同。這樣，圖中的軌跡分布會更廣些，圖也就有趣些。

　　2) Q一般都略高。

　　3) 奇數(shù)個極點(diǎn)突出了單極點(diǎn)段和雙極點(diǎn)段之間的差異。

　　濾波器段是用ADI網(wǎng)站上的濾波器設(shè)計向?qū)гO(shè)計的。

　　各段的F0和Q為：

　　F01 = 615.8Hz F02=960.8Hz F03=342Hz

　　Q1=1.178 Q2=4.545