三維矢量散射積分方程中奇異性的分析及求解方法介紹

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsself→0　(12)
由式(12)可知，在關(guān)于場(chǎng)點(diǎn)和源點(diǎn)的面積分中，被積函數(shù)包含了兩項(xiàng)：

　(13)
　(14)

阻抗矩陣計(jì)算式(4)和(12)可分別簡(jiǎn)寫為：

　(15)

和

　(16)

其中r∈sq,Δsself∈{Δs},∑Δs=sq,Δsselfsself=sq∩sp,Δsslef→0.
　　式(15)，(16)都能用來(lái)求解矩陣自阻抗元素.但式(16)對(duì)源點(diǎn)使用主值積分，便于數(shù)值分析.兩式中，I1=I′1,I2=I′2.為方便計(jì)，選擇其中的I1和I′2.

三、奇異項(xiàng)轉(zhuǎn)移方法
　　在式(13)中，僅包含弱奇異性的Abel積分核［7］.一般來(lái)講，對(duì)于這類積分，數(shù)值計(jì)算時(shí)只要分格越細(xì)(不取奇點(diǎn))，所得的數(shù)值結(jié)果就越精確.但計(jì)算量增加.若取較少的節(jié)點(diǎn)，則由于被積函數(shù)在奇點(diǎn)附近變化劇烈，導(dǎo)致誤差增大.所以必須尋找一種在數(shù)值計(jì)算上實(shí)際可行的方案.處理這類奇異積分的方法之一是奇異轉(zhuǎn)移法［1］.本文將這種方法進(jìn)行了推廣，以便解決式(13)那樣的奇異問(wèn)題.經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，得：

　(17)

在上式中，第一項(xiàng)被積函數(shù)在積分域是連續(xù)有限的，因此數(shù)值可積.在第二項(xiàng)積分中，因子f1(r,r)只與場(chǎng)點(diǎn)有關(guān)，故可提到積分號(hào)外，因此簡(jiǎn)化了奇異項(xiàng)以便于使用積分的解析解：

式中R0=
　(19)

四、挖除有限小塊法
　　下面討論I′2的數(shù)值積分.積分項(xiàng)I′2不包含奇點(diǎn)，其被積函數(shù)F2(r,r′)在積分域上是解析的.但在奇點(diǎn)r附近，由于F2(r,r′)隨r′的變化非常劇烈，用一般的數(shù)值求積是很困難的.
　　用一有限小曲面塊ΔS包圍奇點(diǎn)(ΔSsp)，并設(shè)F2(r,r′)的陡變部分在ΔS中.取Δs0=ΔS-Δsself.在實(shí)際空間中，Δs0對(duì)應(yīng)于一很小的曲面塊，即Δs01.而在參數(shù)空間中，Δs0則為一很小的矩形塊，其長(zhǎng)為Δu1，寬為Δu2，如圖1.這時(shí)I′2變?yōu)椋?/span>

　(20)

式中第一項(xiàng)不含陡變部分，所以可用一般的數(shù)值求積方法計(jì)算.第二項(xiàng)不含奇點(diǎn)，可以得到解析結(jié)果.