基于數(shù)學(xué)優(yōu)化法的帶通濾波器研究

摘要：提出了在濾波器設(shè)計過程中的一種數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計方法。理論分析表明，該設(shè)計方法能夠通過設(shè)定目標(biāo)函數(shù)和約束條件的方式迅速而準(zhǔn)確地逼近目標(biāo)，接近理想響應(yīng)。基于該分析，分別用插入損耗法和數(shù)學(xué)優(yōu)化法設(shè)計了一個等波紋電感耦合帶通濾波器。仿真結(jié)果表明：使用數(shù)學(xué)優(yōu)化法不僅可以快速而準(zhǔn)確地進(jìn)行設(shè)計，而且能大幅提升濾波器性能。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)優(yōu)化法；插入損耗法；帶通濾波器；波紋電感

微波濾波器是無線通信收發(fā)電路的重要組成部分，在收發(fā)前端承擔(dān)信號選擇的功能，在各種無線系統(tǒng)中得到非常廣泛的應(yīng)用，對它設(shè)計方法的研究也一直是微波學(xué)界研究的焦點問題之一。通常，濾波器可采用傳統(tǒng)的電路綜合法，包括鏡像參量法、網(wǎng)絡(luò)綜合法、插入損耗法等進(jìn)行設(shè)計。近年來，隨著無線通信技術(shù)的日益發(fā)展和微波濾波器面積的不斷縮減，單純利用傳統(tǒng)的設(shè)計方法已經(jīng)很難滿足結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜的現(xiàn)代新型濾波器的設(shè)計要求。因此，提出新的設(shè)計方法已經(jīng)成為技術(shù)發(fā)展和應(yīng)用的關(guān)鍵問題之一。
基于以上背景，本文提出了一種數(shù)學(xué)優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行濾波器設(shè)計。相比傳統(tǒng)的電路綜合法，這種優(yōu)化設(shè)計方法可對多個頻率點設(shè)立目標(biāo)函數(shù)，在一段頻率區(qū)間內(nèi)實現(xiàn)對多個目標(biāo)的逼近，從而有效地把握濾波器的整體響應(yīng)，達(dá)到精確設(shè)計并提高性能的目的。本文用該方法設(shè)計了一種等波紋電感耦合的帶通濾波器，驗證其在控制帶寬及改善整體性能方面的優(yōu)越性。

1 數(shù)學(xué)優(yōu)化法設(shè)計原理
數(shù)學(xué)優(yōu)化法是一種求極值的方法，即在一組約束條件下，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，常用的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法有梯度法、牛頓法、退火算法和遺傳算法等。
在濾波器的優(yōu)化設(shè)計過程中，先求得優(yōu)化頻率點，然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)K，并把其在優(yōu)化頻率點處的最小值作為目標(biāo)，利用優(yōu)化算法求得最優(yōu)解。
1．1 求解優(yōu)化頻率點
等波紋帶通濾波器是以切比雪夫多項式為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計的，由于帶通濾波器的頻率響應(yīng)是低通原型的頻率響應(yīng)經(jīng)變換得到的，所以首先來考慮低通濾波器。
廣義切比雪夫低通原型的濾波函數(shù)PLR是一關(guān)于頻率ω的有理函數(shù)，PLR由它的零、極點及一個常數(shù)所決定。若用切比雪夫多項式設(shè)定N階低通原型的插入損耗響應(yīng)，則可以得到濾波函數(shù)PLR為：