基于全相位幅頻特性補償?shù)腇IR濾波器設(shè)計
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控制邊界頻率一直是FIR濾波器設(shè)計的難題。傳統(tǒng)的濾波器設(shè)計法，如頻率采樣法和窗函數(shù)法，因為無法控制臨界頻率，其應(yīng)用受到限制。而一些現(xiàn)代濾波器設(shè)計方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法…、免疫算法等，這些方法設(shè)計的濾波器系數(shù)都是借助某種最優(yōu)化算法對目標(biāo)幅頻函數(shù)進行逼近的過程中得到，但并沒有解決在優(yōu)化過程中如何控制邊界頻率問題。文獻提出一種FRM(FreqLtency Responses Masking，頻率響應(yīng)屏蔽)設(shè)計法，它首先要設(shè)計兩路滿足幅度互補的原型濾波器，再將原型濾波器的每個延時器用M個延時器來代替(即內(nèi)插過程)，然后分別設(shè)計兩路屏蔽濾波器去濾除由于內(nèi)插而產(chǎn)生的鏡像頻率特性，最后將兩路響應(yīng)疊加即得最后濾波輸出。這樣產(chǎn)生的濾波器系數(shù)具有稀疏特性，而總的濾波器長度并不會明顯增加，此方法因為可將過渡帶限制在很窄的寬度內(nèi)而得到廣泛應(yīng)用，但該方法存在原型濾波器與屏蔽濾波器的階數(shù)、各頻帶波紋相互影響及性能匹配的問題，這些問題通常要用線性規(guī)化等復(fù)雜數(shù)學(xué)途徑去解決。
本文在文獻提出的全相位濾波器設(shè)計的基礎(chǔ)上，通過變傳統(tǒng)頻率采樣模式為偶對稱的頻率采樣模式，并引入雙相移組合和構(gòu)造用于補償的全相位單窗濾波器的方法，借助于MATLAB設(shè)計，使得FIR濾波器的臨界頻率的位置可通過改變參數(shù)λ得以解決，它具有無需多步迭代優(yōu)化、設(shè)計方法簡單的特點。
2 偶對稱頻率采樣下的全相位FIR濾波器
2．1 全相位等效FIR濾波器的設(shè)計步驟
文獻提出全相位DFT濾波器設(shè)計法，具有頻率采樣法和窗函數(shù)法的雙重性質(zhì)，并指出：濾波器性能可通過加前窗f或后窗b而得以改善，f和b的設(shè)定可分為三種情況：無窗、單窗和雙窗。要設(shè)計N階全相位濾波器，需先設(shè)置一頻率向量H，最終全相位濾波器可等效為長度為2N-1的FIR濾波器，其設(shè)計可分為三個步驟：(1)對H進行IDFT生成h，再對h進行定義域延伸，形成(2N一1)長度的向量h’=[h(-N+1)…h(huán)(0)…h(huán)(N-1)]T。(2)將前窗f、后窗b進行卷積并歸一化后生成卷積窗wc。(3)將h’、wc對應(yīng)元素相乘即得等效FIR濾波器。根據(jù)以上步驟，將生成的2N-l長度的FIR濾波器g的系數(shù)推導(dǎo)如下：
設(shè)定頻率向量為H=[H(O)H(1)…H(N一1)]T，假設(shè)滿足傳統(tǒng)對稱H(k)=H(N-k)，(k=1，…，N-1)，令H對應(yīng)的IDFT為k=[h(0)h(1)…h(huán)(N-1)]T。令WN=e-j2π/N，對h(n)的定義域進行延拓可得向量h’：
2．2 偶對稱頻率采樣下的全相位FIR濾波器
事實上，H也可設(shè)為偶對稱形式，即滿足H(k)=H(N-1一k)，(k=0，…，N-1)。如N=16時，可設(shè)為：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1]T，這時式(1)的IDFT結(jié)果為復(fù)數(shù)，從而式(4)的FIR系數(shù)也為復(fù)數(shù)。為得到實FIR系數(shù)，需要將式(4)的g乘以一相移向量v0=[v0(-N+1)…v0(一1)v0(0)v0(1)…v0(N-1)]T，其中
結(jié)合式(4)，其FIR濾波器系數(shù)變?yōu)椋?/p>
令頻率采樣間隔△ω=2π/N，文獻證明：無窗和單窗全相位濾波器的傳遞曲線嚴格通過頻率設(shè)置點k△ω,k=0，1，…，N―l而式(5)對濾波器系數(shù)乘以相移向量v0后，根據(jù)傅氏變換的頻移性質(zhì)，其頻率設(shè)置點也相應(yīng)右移0．5△ω，即嚴格通過ω=(k+0．5)△ω，這樣就形成了偶對稱的頻率采樣模式。例：當(dāng)N=8時，令傳統(tǒng)頻采向量H=[1 1 l 0 0 01 1]T偶對稱頻采向量He=[1 1 0 0 0 0 1 1]T。則這兩種模式在[O，2π)內(nèi)的采樣點分布如圖1所示。
3 全相位幅頻補償法下的低通濾波器設(shè)計
以N=16為例，將偶對稱頻率采樣向量H設(shè)為：H=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 l]T，在加漢明單窗的情況下，采用前面的全相位FIR濾波器設(shè)計步驟，可得到如圖2所示的幅頻曲線。
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