基于全相位幅頻特性補(bǔ)償?shù)腇IR濾波器設(shè)計(jì)

相比于圖3：圖4(a)的子濾波器1、2的傳輸曲線分別往右和往左移動(dòng)了0．25個(gè)△ω。圖4(b)是將兩子濾波器復(fù)合疊加的結(jié)果：可發(fā)現(xiàn)其低頻區(qū)域凹下一塊，這就是說，復(fù)合后的濾波器不具備低通特性，因而需用全相位補(bǔ)償法予以解決。
借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N處的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，設(shè)置一頻率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1―b]T，利用Hc采用全相位設(shè)計(jì)可構(gòu)造出一補(bǔ)償濾波器：圖5(a)為在加kaiser(N，1)窗與矩形窗卷積形成的單窗下而得到的補(bǔ)償濾波器hc的幅頻曲線，圖5(b)為補(bǔ)償后的濾波器g的幅頻曲線。很明顯，補(bǔ)償后的幅頻曲線消除了低頻區(qū)的凹口，獲得了平坦特性。
由于補(bǔ)償后的濾波器系數(shù)由兩個(gè)子濾波器系數(shù)h1'、h2'和補(bǔ)償濾波器hc疊加而來，從而有：

圖5(b)中的邊界頻率為：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于圖2，都精確地平移0．25個(gè)△ω。
由于hl’、h2’系數(shù)互為共軛，且補(bǔ)償濾波器hc的系數(shù)也為實(shí)數(shù)，因而濾波器g的系數(shù)也為實(shí)數(shù)。

4 全相位補(bǔ)償法下的其他類型濾波器設(shè)計(jì)
除設(shè)計(jì)低通濾波器外，采用這種補(bǔ)償?shù)姆椒稍O(shè)計(jì)任意類型的FIR濾波器，大致都可分為如下步驟：(1)從偶對(duì)稱的頻率向量H衍生出兩個(gè)互為對(duì)稱的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位濾波器設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)出兩個(gè)子濾波器h1，h2(也可形成子濾波器對(duì))。(3)再將子濾波器hl，h2分別乘以互為共軛的相移向量vl、v2，令相移后的子濾波器分別為h1’、h2'。(4)將濾波器h1’、h2’進(jìn)行復(fù)合而得到g'，其對(duì)應(yīng)的幅頻函數(shù)為G'(ejω)。(5)借助于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，得出G'(ejω)在需要補(bǔ)償?shù)膋△ω頻率點(diǎn)處的值。(6)根據(jù)補(bǔ)償頻率點(diǎn)處的G'(ejω)值構(gòu)造出補(bǔ)償頻率響應(yīng)向量Hc，并根據(jù)Hc選擇適當(dāng)?shù)膯未皹?gòu)造出補(bǔ)償濾波器hc。(7)將h1'、h2'、hc進(jìn)行復(fù)合疊加得到最后的濾波器g。
各種類型濾波器的構(gòu)造區(qū)別僅在于步驟(1)的頻率向量的衍生方式、步驟(4)的復(fù)合方式及步驟(5)補(bǔ)償頻率點(diǎn)的選擇位置有所不同。由于篇幅所限，對(duì)各類型只作簡(jiǎn)單描述：
4．1 高通濾波器的設(shè)計(jì)
將步驟(1)的高通頻率向量H用旁補(bǔ)法的衍生方式形成兩個(gè)對(duì)稱的頻率向量H1、H2，然后利用幅頻曲線的高頻區(qū)域的幅頻值構(gòu)造補(bǔ)償濾波器hc，再根據(jù)式(10)得到最后的高通濾波器系數(shù)。
4．2 帶通濾波器的設(shè)計(jì)
其基本思想是采用兩個(gè)截止頻率不同的低通濾波器系數(shù)相減的方法得到帶通濾波器。由于每個(gè)低通濾波器可分成2個(gè)頻率向量，因此需要分解成4個(gè)單邊帶的頻率向量。以N=32為例，設(shè)兩個(gè)低通頻率向量分別為：

由Ha、Hb可分別分裂成兩個(gè)頻率向量，從而可得到四個(gè)單邊帶的頻率向量：

設(shè)定兩個(gè)頻移參數(shù)λ1、λ2，使得Ha1、Ha2對(duì)應(yīng)的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動(dòng)λ1個(gè)2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2對(duì)應(yīng)的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動(dòng)λ2個(gè)2π／N(rad／s)，假設(shè)平移后四個(gè)單邊帶頻率向量對(duì)應(yīng)的濾波器系數(shù)為ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，則復(fù)合后的帶通濾波器系數(shù)可表述為：

由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都對(duì)應(yīng)低通傳輸特性，因此需要補(bǔ)償?shù)念l率點(diǎn)位置也出現(xiàn)在低頻區(qū)，采用3．1旁補(bǔ)法即可得到補(bǔ)償濾波器hc。再按照步驟(7)即可得到最后的帶通濾波器g。
可見，通過設(shè)置頻移參數(shù)λ1、λ2就可靈活調(diào)整帶通濾波器的頻帶位置及其帶寬，因而控制了邊界頻率。