用累試法直接在Z平面設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的研究

O 引 言
數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要分支。所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)通過(guò)一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分的器件。數(shù)字濾波器和模擬濾波器具有同樣的濾波功能，但具有不同的實(shí)現(xiàn)方式。前者是利用有限精度算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，精度高，穩(wěn)定性強(qiáng)，實(shí)現(xiàn)靈活且不要求阻抗匹配，故在很多方面優(yōu)于模擬濾波器；數(shù)字濾波器是利用離散系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號(hào)波形，讓有用頻率的信號(hào)分量通過(guò)，抑制無(wú)用的信號(hào)分量輸出。數(shù)字濾波器的分類(lèi)有很多種，若從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分類(lèi)，可分為無(wú)限脈沖響應(yīng)濾波器(IIR)和有限脈沖響應(yīng)濾波器(FIR)兩種。從結(jié)構(gòu)上看，IIR數(shù)字濾波器采用遞歸結(jié)構(gòu)，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器主要采用非遞歸的結(jié)構(gòu)。本文從另外一個(gè)角度出發(fā)，直接在Z平面上選擇零、極點(diǎn)，這里稱(chēng)為累試法。它既可以設(shè)計(jì)IIR型數(shù)字濾波器，也可以設(shè)計(jì)FIR型濾波器。

l 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)原理與方法
IIR濾波器設(shè)計(jì)方法通常是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的，先根據(jù)技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)出模擬的低通濾波器，然后將模擬濾波器通過(guò)變換來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，即把s平面映射到Z平面。這一類(lèi)方法相對(duì)容易一些，這是因?yàn)槟M濾波器設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟，設(shè)計(jì)出的濾波器具有運(yùn)算項(xiàng)數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)。而對(duì)于FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，其一主要借助于加各種窗函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，其二通過(guò)頻率采樣實(shí)現(xiàn)。

2 累試法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的思路及原則
所謂累試法就是直接利用軟件，在Z平面上反復(fù)多次設(shè)置濾波器的零、極點(diǎn)，觀察幅頻、相位特性是否滿(mǎn)足預(yù)先設(shè)定的技術(shù)指標(biāo)，如果滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)，則軟件輸出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和濾波器的結(jié)構(gòu)，否則還繼續(xù)在Z平面上設(shè)置零、極點(diǎn)，直到滿(mǎn)足技術(shù)要求為止。這種設(shè)計(jì)濾波器的思想與成熟的設(shè)計(jì)方法是一致的，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)逐步逼近的過(guò)程。
根據(jù)文獻(xiàn)可知系統(tǒng)函數(shù)受系統(tǒng)的零、極點(diǎn)的影響。而零點(diǎn)在相應(yīng)頻率處產(chǎn)生谷值，極點(diǎn)產(chǎn)生峰值。并且零點(diǎn)離單位圓越近陷落越深，極點(diǎn)離單位圓越近，則波峰越陡峭，同樣地，在相同位置設(shè)置的零點(diǎn)、極點(diǎn)越多，能達(dá)到的陡峭效果越好。根據(jù)這個(gè)思路，可以在Z平面上選擇零、極點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)幅度特性滿(mǎn)足設(shè)計(jì)指標(biāo)，由零、極點(diǎn)來(lái)確定系統(tǒng)函數(shù)，從而確定濾波器的結(jié)構(gòu)。按照這種方法設(shè)計(jì)應(yīng)遵循以下的原則：
(1)設(shè)置零、極點(diǎn)時(shí)主要考慮濾波器是何種類(lèi)型。如果設(shè)計(jì)FIR類(lèi)型，不設(shè)置極點(diǎn)，只設(shè)置零點(diǎn)，這樣的濾波器為非遞歸型。一旦設(shè)置了極點(diǎn)有可能使濾波器變成遞歸型的。
(2)如果要濾除某一頻率，則可以在相應(yīng)數(shù)字頻率處設(shè)置一零點(diǎn)；相反，則可以設(shè)置一極點(diǎn)。
(3)根據(jù)濾波器的穩(wěn)定條件，極點(diǎn)應(yīng)該設(shè)置在單位圓的內(nèi)部。
(4)為了便于實(shí)現(xiàn)濾波器的結(jié)構(gòu)，零、極點(diǎn)應(yīng)該成對(duì)設(shè)置(零、極點(diǎn)在實(shí)軸上除外)，所謂成對(duì)設(shè)置就是一對(duì)零點(diǎn)應(yīng)該是共軛的，對(duì)于極點(diǎn)同樣如此。
(5)要使某頻率處陷落越深或波峰越陡峭，則可以在相應(yīng)位置多設(shè)置幾個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)。
(6)所謂低頻是指在0附近，高頻這在π附近，數(shù)字頻率范圍為O～2π。
(7)零點(diǎn)z與其關(guān)于圓周對(duì)稱(chēng)點(diǎn)具有相同的濾波效應(yīng)。
(8)由于系統(tǒng)函數(shù)單位圓外的極點(diǎn)zk用代替不影響系統(tǒng)的幅頻特性，相頻特性有所不同。因此當(dāng)遇到系統(tǒng)涉及單位圓外部極點(diǎn)時(shí)，可以用其單位圓內(nèi)部鏡像極點(diǎn)代替。
(9)在同點(diǎn)分別選擇一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，存在零極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，對(duì)系統(tǒng)沒(méi)有影響。