基于WLS-KF的GPS非線性動態(tài)濾波研究

摘要：為了提高動態(tài)定位精度，將卡爾曼(KF)算法應(yīng)用到GPS非線性動態(tài)定位解算中，提出加權(quán)最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法。通過加權(quán)最小二乘(WLS)算法得到近似的線性化模型，再將KF算法應(yīng)用到這個線性化模型進行校正。因此既保持了KF算法能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)進行最優(yōu)估算的優(yōu)點，同時對各個測量值進行了聯(lián)系制約，具有更高的精度。結(jié)果表明，這種方法精度介于EKF和UKF之間，且實現(xiàn)容易，預(yù)測可靠，具有實際應(yīng)用價值。
關(guān)鍵詞：全球定位系統(tǒng)；卡爾曼濾波；加權(quán)最小二乘；非線性

0 引言
卡爾曼濾波(KF)是一個不斷預(yù)測、修正的遞推過程，已經(jīng)越來越多地應(yīng)用于動態(tài)數(shù)據(jù)處理中。然而在KF模型中，要求觀測方程是線性形式、狀態(tài)噪聲和測量噪聲是白噪聲。為了解決這種矛盾，將KF理論應(yīng)用到非線性領(lǐng)域中，擴展卡爾曼濾波(EKF)應(yīng)用而生，它圍繞狀態(tài)估計值對非線性系統(tǒng)進行一階Taylor展開使其線性化，但它存在如下不足：一是當非線性函數(shù)Taylor展開式的高階項無法忽略時，會產(chǎn)生較大的線性化誤差；二是EKF假定噪聲均為正態(tài)白噪聲，但是一個正態(tài)自噪聲經(jīng)過非線性變換后通常不再呈現(xiàn)正態(tài)性；三是只有在雅可比矩陣存在時才能線性化，而很多應(yīng)用中雅可比矩陣很難求。針對這種情況，Julier和Uhlmann等人提出了一種基于非線性變換——Un-scented變換(UT)的卡爾曼濾波算法(UKF)。它通過確定性采樣得到的一組sigma點，可以獲得更多的觀測假設(shè)，對系統(tǒng)狀態(tài)的均值和協(xié)方差的估計更為準確，同時由于該算法采用了非線性的狀態(tài)方程和觀測方程，從而避免了線性化誤差。目前，EKF和UKF算法被廣泛應(yīng)用于GPS非線性動態(tài)濾波研究中，并取得良好的定位效果。
本文給出了一種加權(quán)最小二乘一卡爾曼濾波(WLS-KF)算法，它利用一組離散采樣點，通過WLS方法產(chǎn)生近似線性化預(yù)測模型，然后用KF算法對此模型進行校正。以該算法為思路，將其應(yīng)用在GPS非線性動態(tài)濾波定位解算中，仿真結(jié)果表明該算法精度介于EKF和UKF之間，從而實現(xiàn)了對目標較高精度的定位和跟蹤。

1 算法描述
1．1 WLS算法
LS算法是現(xiàn)代測量技術(shù)中數(shù)據(jù)處理的基本工具，這種方法的特點是算法簡單，在估計解算時，不需要知道與被估計量以及觀測量有關(guān)的任何統(tǒng)計信息。
設(shè)X為待估參數(shù)矢量，觀測矢量為L。觀測方程為：

式中：v為觀測誤差。用泰勒定理展開，得到線性化的觀測方程為：

式中：A是系數(shù)矩陣；f(X0)表示用先驗參數(shù)計算的理論觀測向量；b表示擬合后的殘差；△X是對先驗參數(shù)的小修正向量。
LS算法的指標是使各次觀測量與由參數(shù)估計得到的觀測量之差的平方和最小，即：

要使上式達到最小，當對觀測矢量的質(zhì)量有所了解時，設(shè)置各個測量值的權(quán)重，得到WLS算法的解為：

若更新后的Xk尚未達到求解精度，則Xk可作為第k+1次迭代的起始點，繼續(xù)進行上述運算。