FPGA 101：計算復雜數(shù)學函數(shù)

由于其靈活性與高性能，FPGA已經(jīng)在眾多需要計算復雜數(shù)學題或傳遞函數(shù)的工業(yè)、科研、軍事及其它應(yīng)用中找到用武之地。苛刻的精度要求與計算時延在更關(guān)鍵的應(yīng)用中并不少見。

在采用FPGA實現(xiàn)數(shù)學函數(shù)時，工程師一般選擇定點數(shù)學(參見：賽靈思中國通訊第80期的《FPGA數(shù)學基礎(chǔ)》，http://issuu.com/xcelljournal/ docs/xcell80/44?e=2232228/2002872)。另外，您還可以采用CORDIC等許多算法計算超越函數(shù)(參見：賽靈思中國通訊第79期的《如何在FPGA中運用CORDIC算法》，http://china.xilinx.com/ publications/archives/xcel l/Xcell79.pdf)。

不過，在遇到極為復雜的數(shù)學函數(shù)時，與在FPGA之中實現(xiàn)精確需求函數(shù)相比，還有更高效的方法進行處理。為了理解這些變通方法 – 尤其是其中的多項式近似法，我們首先需要定義相關(guān)問題。

設(shè)置問題

FPGA中負責監(jiān)控鉑電阻溫度計(PRT)并把PRT電阻轉(zhuǎn)換成溫度的復雜數(shù)學傳遞函數(shù)就是這樣一個例子。這種轉(zhuǎn)換一般采用Callendar-Van Dusen方程實現(xiàn)。通過以下該方程的簡化形式，可以確定溫度介于0°C~660°C之間。

式中，R0 為0°C時的電阻，a 與b 是PRT的系數(shù)，而t 則是溫度。

現(xiàn)實中，我們希望從電阻轉(zhuǎn)換到溫度。為此，我們需要調(diào)整該方程，確保得出的結(jié)果是給定電阻下的溫度。大多數(shù)采用PRT的系統(tǒng)都會設(shè)計電子裝置、采用電子電路測量PRT的電阻，然后利用FPGA、通過調(diào)整后的下式計算溫度。

在FPGA中實現(xiàn)此方程即使是經(jīng)驗豐富的FPGA工程師也會望而卻步。參考溫度繪制所獲得的電阻可以獲得圖1所示圖形。

從圖中可以清晰看出響應(yīng)的非線性。

溫度與電阻

圖1 – 傳遞函數(shù)圖

直接在FPGA中實現(xiàn)調(diào)整后的傳遞函數(shù)會在實際所需設(shè)計工作量以及驗證方面面臨著巨大挑戰(zhàn)(確保精度以及跨邊界與極端條件函數(shù))。許多工程師會想方設(shè)法實現(xiàn)函數(shù)，以便減少設(shè)計與驗證工作量，從而控制項目進度。一個可行的方法是采用查找表保存曲線中的一系列點，同時提供LUT所含點之間的線性插值。

根據(jù)相關(guān)精度要求和保存在查找表中的元素數(shù)量，這種方法有可能滿足需求。但是，您仍然需要在設(shè)計中包含線性插值函數(shù)。此函數(shù)在數(shù)學上非常復雜，而且往往包含一個非二次冪除法，其會進一步增加復雜性。

利用FPGA資源

相反，您還可以利用另一種方法實現(xiàn)此類傳遞函數(shù)，那就是利用FPGA的本身特性。賽靈思 Spartan-6與7系列Artix、Kintex與Virtex等新型FPGA不僅僅只包含傳統(tǒng)查找表和觸發(fā)器，還具有內(nèi)置DSP Slice、Block RAM、分布式RAM、PCIe®等眾多高級IP硬核以及以太網(wǎng)端點、高速串行鏈路等。

由于其提供的48位累加器，工程師通常把DSP Slice稱為DSP48s。不過，這些Slice還提供25 x 18位寬乘法器、加/減功能以及眾多其它功能。您可以利用這些內(nèi)部RAM結(jié)構(gòu)和DSP Slice更輕松實現(xiàn)傳遞函數(shù)。

多項式近似法

利用FPGA具有豐富DSP與RAM的結(jié)構(gòu)的一種方法是多項式近似法。為了使用此方法，您必須首先繪出數(shù)學函數(shù)圖，在MATLAB或Excel等數(shù)學程序中涵蓋輸入值范圍。然后您可以在相關(guān)數(shù)據(jù)集中添加多項式趨勢線，然后可以在FPGA中實現(xiàn)該趨勢線的等式，以取代復雜數(shù)學函數(shù)，只要趨勢線等式符合精度要求。

如果一個多項式方程無法針對整個傳遞函數(shù)輸入范圍提供足夠精度，則可以添加更多方程。只要生成一系列在相關(guān)輸入范圍使用的多項式常數(shù)，您就能夠繼續(xù)依賴此方法。

能夠添加多項式趨勢線的數(shù)學程序大部分都允許您選擇階次或多項式項的數(shù)量。階次越高，則配合越準確——但是您需要在FPGA中實現(xiàn)更多的項。在針對傳遞函數(shù)示例實施此過程時，我們是采用Microsoft Excel，我們已經(jīng)獲得了圖2所示趨勢線與等式。本例中采用4次多項式方程。

在獲得了適合我們希望實現(xiàn)的傳遞函數(shù)的多項式之后，我們可以采用相同分析工具(在本例中為Excel)針對原始傳遞函數(shù)仔細檢查精度。在所述監(jiān)控溫度的例子中，最終測量精度可能會是+/-1C，這并非苛刻的精度要求。盡管如此，根據(jù)測量范圍和您實現(xiàn)的傳遞函數(shù)，可能證實仍然很難僅用一個多項式方程實現(xiàn)。我們該如何解決這個問題呢?

根據(jù)輸入值選擇的多條趨勢線

如果一個多項式方程無法針對整個傳遞函數(shù)輸入范圍提供足夠精度，則可以添加更多方程。只要生成一系列在相關(guān)輸入范圍使用的多項式常數(shù)，您就能夠繼續(xù)使用此方法。因此，一旦輸入值超出特定范圍，則加載一個新的常數(shù)集合。

圖2 – 用于溫度傳遞函數(shù)的趨勢線與多項式方程

聚焦溫度與電阻

圖3 – 可提供更準確結(jié)果的269C~300C繪圖

下面繼續(xù)探討溫度例子，第一個多項式方程可以在0C~268C范圍內(nèi)提供+/-1C的精度。對于許多應(yīng)用此精度已經(jīng)足夠。假設(shè)我們需要達到300C的更廣泛運行范圍與容差，則意味著我們最初的方法無法滿足設(shè)計要求。利用分段方法我們能夠解決上述問題，即繪出269C~300C范圍的圖形并且獲得能夠為此輸出范圍提供更高精度的不同多項式方程(見圖3)。

總之，此實現(xiàn)方法采用第一套多項式常數(shù)，直到輸入值超出與268C對應(yīng)的預先計算范圍。超出該范圍之后則采用第二套常數(shù)保持精度要求。

這樣您就能夠把傳遞函數(shù)分為一系列片段，以便達到預期精度。您可以選擇跨傳遞函數(shù)均勻分隔這些片段，也就是說，可以把它們分為均等于X的10分段。另外，您也可以不均勻分隔，而是按實現(xiàn)所需精度的要求進行分段，集中精力關(guān)注較難達到精度的傳遞函數(shù)部分。

就決定您實現(xiàn)方案時需要考慮的利弊權(quán)衡而言，應(yīng)當牢記的是均勻方法比非均勻方法會占用更大的內(nèi)存空間。根據(jù)您所實現(xiàn)的傳遞函數(shù)，采用非均勻方法可能會節(jié)省大量資源。

如何對比?

當然，如前所述，其它方法也可以用于實現(xiàn)傳遞函數(shù)。多項式近似法之外最常用的四種方法分別是軟件程序、查找表、帶插值的查找表以及CORDIC。

由于需要添加處理器(會相應(yīng)增加設(shè)計復雜性、材料清單成本等)，采用軟件計算傳遞函數(shù)會使系統(tǒng)架構(gòu)復雜化。即使設(shè)計團隊采用賽靈思Zynq-7000 All Programmable SoC等片上系統(tǒng)彌補上述缺陷，仍然會存在難題。對新手而言，用軟件計算傳遞函數(shù)比在邏輯電路中實現(xiàn)需要花費多得多的時間，從而會降低系統(tǒng)響應(yīng)時間。事實上，傳遞函數(shù)(諸如我們示例設(shè)計中所用的)的計算是一個典型的例子，應(yīng)該由Zynq SoC可編程邏輯端負責處理。

第二種方法(即采用含有輸入預算值的查找表)的效果隨輸入值范圍與寬度變化而改變。有時會很快造成非常龐大的LUT，其會占用FPGA內(nèi)部大量的RAM容量。根據(jù)相關(guān)FPGA，此方法可能需要的資源供不應(yīng)求，也有可能造成與設(shè)計中其它模塊竟用資源。當然，這種方法的有利之處是能夠很快算出結(jié)果。

第三種潛在方法(帶插值的查找表)是我們前面談到過的一種方法，它試圖減少整套LUT方法所需的內(nèi)存位置數(shù)量。此方法需要工程師在FPGA內(nèi)編寫線性插值函數(shù)，而這項工作多少有點棘手。不過，它仍然比CORDIC這個最后選項簡單得多。

CORDIC算法能夠?qū)崿F(xiàn)超越函數(shù)，如：正弦、余弦、乘法、除法、平方根等。因此，利用CORDIC算法與基本數(shù)學模塊的組合能夠準確實現(xiàn)傳遞函數(shù)。此方法可以實現(xiàn)更高精度。但是，對于復雜的傳遞函數(shù)，這種好處需要付出增加設(shè)計與驗證時間的代價。當然這對采用該方法實現(xiàn)的器件的工作頻率會有影響。

因此，多項式近似法是四種備選方案的折中，其能夠很好地平衡性能、精度與實現(xiàn)資源占用。

實現(xiàn)簡便性

每位工程師都希望創(chuàng)造出能夠最佳利益器件資源的FPGA。多項式近似法使您能夠受益于FPGA提供的豐富乘法器與RAM環(huán)境，同時能夠利用這些資源輕松實現(xiàn)看似極其復雜的數(shù)學傳遞函數(shù)。