分形理論在天線技術中的應用

1 引言

隨著無線通信技術的發(fā)展和移動通信終端設備的普及，特別是近年來人們對小型化、多頻帶、集成化天線的 迫切需求，使天線技術得到了充分的發(fā)展。但是，傳統(tǒng)的天線在幾何形狀上基本上都是基于歐幾里德幾何的設計。雖然，隨著天線技術的不斷發(fā)展出現(xiàn)了微帶天線， 具有低剖面、重量輕、成本低，可與各種載體共形，適合印刷電路板技術批量生產(chǎn)、易于實現(xiàn)圓極化、雙極化、雙頻段工作等優(yōu)點，但其致命的缺點是窄帶性，從而 限制了它的廣泛應用。因此，迫切需要運用新的理論和方法，探索現(xiàn)代天線的設計，解決傳統(tǒng)的天線設計中出現(xiàn)的問題和矛盾。研究發(fā)現(xiàn)，將分形幾何應用到天線工 程中，可設計出尺寸和頻帶指標更好的分形天線。

2 分形天線

“分形”這一概念是由法國 數(shù)學家B.Mandelbrot 于1975年首次提出的,“分形（Fracta1）”這個名詞即拉丁文的“破碎”。分形幾何就是研究無限復雜而具有特定意義下的自相似圖形和結構的幾何學，自相似就是局部的形態(tài)與整體形態(tài)的相似，分形具有兩大特征：自相似性和空間填充性(即分數(shù)維)。

所謂分形天線，是指幾何屬性上具有分形特征的天線。世界上第一個分形天線是由美國科學家Dr．Nathan Cohen 于1988年完成的，而對分形天線進行系統(tǒng)的研究是從1995年8月Cohen 發(fā)表他的第一篇有關分形天線方面的文章開始的。隨后，國際上很多大學和科研機構開始對分形天線進行研究。分形天線是分形電動力學的眾多應用之一。天線與陣 列的分形設計是電磁理論與分形幾何學的融合，如我們熟悉的螺旋天線和對數(shù)周期天線等一類頻率無關天線都是分形天線，它已經(jīng)存在多年，但直到分形技術應用 后，它的性能才得以充分的理解。

傳統(tǒng)的微帶天線要實現(xiàn)其雙頻和多頻工作通常需要采用多個輻射單元的天線或電抗性負載貼片天線或多頻介質諧振 天線，這些都增加了天線的復雜性，同時，也增加了制作的難度和成本?，F(xiàn)代無線通信要求用低剖面、小尺寸、多頻帶（寬頻帶）、可集成的天線，分形天線能更好 的滿足這種要求。分形是通過迭代產(chǎn)生的分數(shù)維自相似結構，其整體與局部、局部與局部之間都具有自相似性。因此，分形是一種與標度無關的幾何，與寬帶天線的 頻率無關性比較相似。

將分形應用于天線的設計主要是用來實現(xiàn)天線小型化和天線的多頻特性，分形天線解決了傳統(tǒng)天線的兩個局限性：

(1) 通常天線的性能都依賴于天線的電尺寸。這就意味著對于固定的天線尺寸，主要天線參數(shù)（增益、輸入阻抗、方向圖和副瓣電平等）將隨著工作頻率的改變而改變。 分形的自相似性使分形天線有多頻和寬頻特性。(2) 分形的空間填充性，使一些天線的尺寸得到減縮。

分形天線的研究和應用，在軍事和民用方 面都有著巨大的潛力，尤其在無線、衛(wèi)星和移動通信系統(tǒng)中將會發(fā)揮巨大的作用，有著非常廣闊的市場前景。國外在分形天線單元和分形天線陣列研究方面已取得實 質性進展，但國內在這方面的研究還很少，分形天線是分形理論和天線技術的融合，表現(xiàn)出與傳統(tǒng)天線相比的許多優(yōu)勢，是近幾年天線領域的研究熱點。

2.1幾種常見的分形天線

分 形幾何天線的形成主要是通過迭代的方式產(chǎn)生的，這就使得分形天線具有自相似性。如正三角形四等分成四個小三角形，挖去中間的一個，把剩下的三個小三角形四 等分挖去中間的一個，如此無限的進行下去，面積將趨于零、邊長增加、由無窮多線段組成的Sierpinski Gasket，如圖2所示，其分維數(shù)為ln3/ln2。

（a）Koch天線形成過程 （b）Koch雙極天線
圖1 Koch 分形天線

圖2 Sierpinski Gasket分形天線的形成

圖3 Koch雪花分形天線

圖4 Hilbert曲線分形天線

圖5 Koch分形環(huán)和Minkowski分形環(huán)
圖6 Sierpinski Gasket/Carpet 分形天線

2.2分形天線的特性分析

由 于分形幾何兩個獨特的特征：自相似性（self-similarity）（或自仿射性self-affinity）和空間填充性（space- filling），結合天線的特征，使得分形幾何在天線工程領域中的應用有了突破性的發(fā)展。使天線在尺寸大小和頻帶寬窄以及多頻帶等方面的性能與傳統(tǒng)天線 相比有了極大的改善。

寬頻帶天線的重要特征是其性能與頻率無關，如我們熟悉的螺旋天線和對數(shù)周期天線等一類非頻變天線（即頻率無關天線）都 是分形天線。當頻率變化時能保持其阻抗和方向圖特性不變，即以頻率為尺度時，其電性能不變。分形幾何是一種與標度無關的幾何，具有相似的結構，這意味著分 形天線形狀在不同的尺度變化下保持相似性，從而具有相似的電特性，形成多頻帶天線，從這一點上分析，研究分形幾何與天線的關系有其必要性。

設計的Sierpinski地毯分形微帶天線如圖7，仿真和計算結果都表明，Sierpinski地毯分形微帶天線具有多頻帶性，且最寬的頻帶 達到中心頻率的47.1％。Sierpinski墊片分形天線也具有多頻帶性，這也證明了分形天線的多頻帶特性。實際上，不僅 Sierpinski分形天線及其變形分形天線表現(xiàn)出多頻帶性，而且分形樹天線、隨機分形天線也具備同樣的特性。例如，利用等效RLC電路模擬法研 究Dendrite類型的印刷分形天線發(fā)現(xiàn)，Dendrite類型的隨機分形天線在0.4-15GHz頻率范圍內也具備較好的寬帶性能。

我 們知道，經(jīng)典的歐幾里德幾何研究的對象是規(guī)則而光滑的幾何形狀，而分形結構是由迭代產(chǎn)生的復雜形狀，使一些天線的尺寸縮減成為可能。當然，分形嚴格來說， 它是通過無限次的迭代而產(chǎn)生的復雜的幾何圖形，在天線的應用中我們一般只進行有限次的迭代，這并不影響天線的性能。與傳統(tǒng)的天線相比，它更有效的占據(jù)空 間，也就是分形天線的空間填充性，使得它在很小的空間內能有效的耦合從饋電傳輸線到自由空間的能量。通過分形環(huán)和分形雙極子天線與線性環(huán)和雙極子天線的比 較得出：分形天線的空間填充性使得天線的尺寸縮小。實驗也證明了這點：Koch曲線分形單極子天線如圖1、Koch雪花如圖3、Minkowski分形環(huán) 天線如圖5，它們的諧振頻率都隨著迭代次數(shù)的增加而降低。這里，將著重討論Koch曲線的分形天線的尺寸縮減性能。