分形理論在天線技術(shù)中的應(yīng)用

1 引言

隨著無(wú)線通信技術(shù)的發(fā)展和移動(dòng)通信終端設(shè)備的普及，特別是近年來(lái)人們對(duì)小型化、多頻帶、集成化天線的 迫切需求，使天線技術(shù)得到了充分的發(fā)展。但是，傳統(tǒng)的天線在幾何形狀上基本上都是基于歐幾里德幾何的設(shè)計(jì)。雖然，隨著天線技術(shù)的不斷發(fā)展出現(xiàn)了微帶天線， 具有低剖面、重量輕、成本低，可與各種載體共形，適合印刷電路板技術(shù)批量生產(chǎn)、易于實(shí)現(xiàn)圓極化、雙極化、雙頻段工作等優(yōu)點(diǎn)，但其致命的缺點(diǎn)是窄帶性，從而 限制了它的廣泛應(yīng)用。因此，迫切需要運(yùn)用新的理論和方法，探索現(xiàn)代天線的設(shè)計(jì)，解決傳統(tǒng)的天線設(shè)計(jì)中出現(xiàn)的問(wèn)題和矛盾。研究發(fā)現(xiàn)，將分形幾何應(yīng)用到天線工 程中，可設(shè)計(jì)出尺寸和頻帶指標(biāo)更好的分形天線。

2 分形天線

“分形”這一概念是由法國(guó) 數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot 于1975年首次提出的,“分形（Fracta1）”這個(gè)名詞即拉丁文的“破碎”。分形幾何就是研究無(wú)限復(fù)雜而具有特定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)，自相似就是局部的形態(tài)與整體形態(tài)的相似，分形具有兩大特征：自相似性和空間填充性(即分?jǐn)?shù)維)。

所謂分形天線，是指幾何屬性上具有分形特征的天線。世界上第一個(gè)分形天線是由美國(guó)科學(xué)家Dr．Nathan Cohen 于1988年完成的，而對(duì)分形天線進(jìn)行系統(tǒng)的研究是從1995年8月Cohen 發(fā)表他的第一篇有關(guān)分形天線方面的文章開(kāi)始的。隨后，國(guó)際上很多大學(xué)和科研機(jī)構(gòu)開(kāi)始對(duì)分形天線進(jìn)行研究。分形天線是分形電動(dòng)力學(xué)的眾多應(yīng)用之一。天線與陣 列的分形設(shè)計(jì)是電磁理論與分形幾何學(xué)的融合，如我們熟悉的螺旋天線和對(duì)數(shù)周期天線等一類(lèi)頻率無(wú)關(guān)天線都是分形天線，它已經(jīng)存在多年，但直到分形技術(shù)應(yīng)用 后，它的性能才得以充分的理解。

傳統(tǒng)的微帶天線要實(shí)現(xiàn)其雙頻和多頻工作通常需要采用多個(gè)輻射單元的天線或電抗性負(fù)載貼片天線或多頻介質(zhì)諧振 天線，這些都增加了天線的復(fù)雜性，同時(shí)，也增加了制作的難度和成本?，F(xiàn)代無(wú)線通信要求用低剖面、小尺寸、多頻帶（寬頻帶）、可集成的天線，分形天線能更好 的滿(mǎn)足這種要求。分形是通過(guò)迭代產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)維自相似結(jié)構(gòu)，其整體與局部、局部與局部之間都具有自相似性。因此，分形是一種與標(biāo)度無(wú)關(guān)的幾何，與寬帶天線的 頻率無(wú)關(guān)性比較相似。

將分形應(yīng)用于天線的設(shè)計(jì)主要是用來(lái)實(shí)現(xiàn)天線小型化和天線的多頻特性，分形天線解決了傳統(tǒng)天線的兩個(gè)局限性：

(1) 通常天線的性能都依賴(lài)于天線的電尺寸。這就意味著對(duì)于固定的天線尺寸，主要天線參數(shù)（增益、輸入阻抗、方向圖和副瓣電平等）將隨著工作頻率的改變而改變。 分形的自相似性使分形天線有多頻和寬頻特性。(2) 分形的空間填充性，使一些天線的尺寸得到減縮。

分形天線的研究和應(yīng)用，在軍事和民用方 面都有著巨大的潛力，尤其在無(wú)線、衛(wèi)星和移動(dòng)通信系統(tǒng)中將會(huì)發(fā)揮巨大的作用，有著非常廣闊的市場(chǎng)前景。國(guó)外在分形天線單元和分形天線陣列研究方面已取得實(shí) 質(zhì)性進(jìn)展，但國(guó)內(nèi)在這方面的研究還很少，分形天線是分形理論和天線技術(shù)的融合，表現(xiàn)出與傳統(tǒng)天線相比的許多優(yōu)勢(shì)，是近幾年天線領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

2.1幾種常見(jiàn)的分形天線

分 形幾何天線的形成主要是通過(guò)迭代的方式產(chǎn)生的，這就使得分形天線具有自相似性。如正三角形四等分成四個(gè)小三角形，挖去中間的一個(gè)，把剩下的三個(gè)小三角形四 等分挖去中間的一個(gè)，如此無(wú)限的進(jìn)行下去，面積將趨于零、邊長(zhǎng)增加、由無(wú)窮多線段組成的Sierpinski Gasket，如圖2所示，其分維數(shù)為ln3/ln2。

（a）Koch天線形成過(guò)程 （b）Koch雙極天線
圖1 Koch 分形天線

圖2 Sierpinski Gasket分形天線的形成

圖3 Koch雪花分形天線

圖4 Hilbert曲線分形天線

圖5 Koch分形環(huán)和Minkowski分形環(huán)
圖6 Sierpinski Gasket/Carpet 分形天線

2.2分形天線的特性分析

由 于分形幾何兩個(gè)獨(dú)特的特征：自相似性（self-similarity）（或自仿射性self-affinity）和空間填充性（space- filling），結(jié)合天線的特征，使得分形幾何在天線工程領(lǐng)域中的應(yīng)用有了突破性的發(fā)展。使天線在尺寸大小和頻帶寬窄以及多頻帶等方面的性能與傳統(tǒng)天線 相比有了極大的改善。

寬頻帶天線的重要特征是其性能與頻率無(wú)關(guān)，如我們熟悉的螺旋天線和對(duì)數(shù)周期天線等一類(lèi)非頻變天線（即頻率無(wú)關(guān)天線）都 是分形天線。當(dāng)頻率變化時(shí)能保持其阻抗和方向圖特性不變，即以頻率為尺度時(shí)，其電性能不變。分形幾何是一種與標(biāo)度無(wú)關(guān)的幾何，具有相似的結(jié)構(gòu)，這意味著分 形天線形狀在不同的尺度變化下保持相似性，從而具有相似的電特性，形成多頻帶天線，從這一點(diǎn)上分析，研究分形幾何與天線的關(guān)系有其必要性。

設(shè)計(jì)的Sierpinski地毯分形微帶天線如圖7，仿真和計(jì)算結(jié)果都表明，Sierpinski地毯分形微帶天線具有多頻帶性，且最寬的頻帶 達(dá)到中心頻率的47.1％。Sierpinski墊片分形天線也具有多頻帶性，這也證明了分形天線的多頻帶特性。實(shí)際上，不僅 Sierpinski分形天線及其變形分形天線表現(xiàn)出多頻帶性，而且分形樹(shù)天線、隨機(jī)分形天線也具備同樣的特性。例如，利用等效RLC電路模擬法研 究Dendrite類(lèi)型的印刷分形天線發(fā)現(xiàn)，Dendrite類(lèi)型的隨機(jī)分形天線在0.4-15GHz頻率范圍內(nèi)也具備較好的寬帶性能。

我 們知道，經(jīng)典的歐幾里德幾何研究的對(duì)象是規(guī)則而光滑的幾何形狀，而分形結(jié)構(gòu)是由迭代產(chǎn)生的復(fù)雜形狀，使一些天線的尺寸縮減成為可能。當(dāng)然，分形嚴(yán)格來(lái)說(shuō)， 它是通過(guò)無(wú)限次的迭代而產(chǎn)生的復(fù)雜的幾何圖形，在天線的應(yīng)用中我們一般只進(jìn)行有限次的迭代，這并不影響天線的性能。與傳統(tǒng)的天線相比，它更有效的占據(jù)空 間，也就是分形天線的空間填充性，使得它在很小的空間內(nèi)能有效的耦合從饋電傳輸線到自由空間的能量。通過(guò)分形環(huán)和分形雙極子天線與線性環(huán)和雙極子天線的比 較得出：分形天線的空間填充性使得天線的尺寸縮小。實(shí)驗(yàn)也證明了這點(diǎn)：Koch曲線分形單極子天線如圖1、Koch雪花如圖3、Minkowski分形環(huán) 天線如圖5，它們的諧振頻率都隨著迭代次數(shù)的增加而降低。這里，將著重討論Koch曲線的分形天線的尺寸縮減性能。