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          小波變換和motion信號(hào)處理:第二篇

          作者: 時(shí)間:2014-05-22 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏

          這是《信號(hào)處理》系列的第二篇,深入小波。第一篇我進(jìn)行了基礎(chǔ)知識(shí)的鋪墊,第三篇主要講解應(yīng)用。

          本文引用地址:http://www.ex-cimer.com/article/247254.htm

          在上一篇中講到,每個(gè)都會(huì)有一個(gè)mother wavelet,我們稱之為母小波,同時(shí)還有一個(gè)father wavelet,就是scaling function。而該小波的basis函數(shù)其實(shí)就是對(duì)這個(gè)母小波和父小波縮放和平移形成的??s放倍數(shù)都是2的級(jí)數(shù),平移的大小和當(dāng)前其縮放的程度有關(guān)。

          還講到,小波系統(tǒng)有很多種,不同的母小波,衍生的小波基就完全不同。小波展開的近似形式是這樣:

           

           

          其中的

           

           

          就是小波級(jí)數(shù),這些級(jí)數(shù)的組合就形成了中的基basis。和傅立葉級(jí)數(shù)有一點(diǎn)不同的是,小波級(jí)數(shù)通常是orthonormal basis,也就是說,它們不僅兩兩正交,還歸一化了。

          我們還講了一般小波變換的三個(gè)特點(diǎn),就是小波級(jí)數(shù)是二維的,能定位時(shí)域和頻域,計(jì)算很快。但我們并沒有深入講解,比如,如何理解這個(gè)二維?它是如何同時(shí)定位頻域和時(shí)域的?

          在這一篇文章里,我們就來討論一下這些特性背后的原理。

          首先,我們一直都在講小波展開的近似形式。那什么是完整形式呢?之前講到,小波basis的形成,是基于基本的小波函數(shù),也就是母小波來做縮放和平移的。但是,母小波并非唯一的原始基。在構(gòu)建小波基函數(shù)集合的時(shí)候,通常還要用到一個(gè)函數(shù)叫尺度函數(shù),scaling function,人們通常都稱其為父小波。它和母小波一樣,也是歸一化了,而且它還需要滿足一個(gè)性質(zhì),就是它和對(duì)自己本身周期平移的函數(shù)兩兩正交:

           

           

           

           

          另外,為了方便處理,父小波和母小波也需要是正交的。可以說,完整的小波展開就是由母小波和父小波共同定義的。

           

           

          其中

           

           

          是母小波,

           

           

          是父小波。需要提醒一點(diǎn)的是,這個(gè)正交純粹是為了小波分析的方便而引入的特性,并不是說小波變換的基就一定必須是正交的。但大部分小波變換的基確實(shí)是正交的,所以本文就直接默認(rèn)正交為小波變換的主要性質(zhì)之一了。引入這個(gè)父小波呢,主要是為了方便做多解析度分析(multiresolution analysis, MRA)。說到這里,你的問題可能會(huì)井噴了:好好的為什么出來一個(gè)父小波呢?這個(gè)scaling function是拿來干嘛的?它背后的物理意義是什么?wavelet function背后的物理意義又是什么?這個(gè)多解析度分析又是什么呢?不急,下面,我們圍繞一個(gè)例子來鞏固一下前面的知識(shí),同時(shí)再引出新的特性。

          假設(shè)我們有這樣一個(gè)信號(hào):

           

           

          該信號(hào)長度為8,是離散的一維信號(hào)。我們要考慮的,就是如何用小波將其展開。為了方便講解,我們考慮最簡單的一種小波,哈爾小波。下面是它的一種母小波:

           

           

          那如何構(gòu)建基于這個(gè)母小波的基呢?剛才提到了,要縮放,要平移。我們先試試縮放,那就是ψ(2n):

           

           

          但這樣的話,它與自己的內(nèi)積就不是1了,不符合小波基orthonormal的要求,所以我們要在前面加一個(gè)系數(shù)根號(hào)二,這樣我們就得到了另一個(gè)哈爾小波的basis function:

           

           

          同理,我們可以一直這樣推廣下去做scale,得到4n,8n,…….下的basis function。當(dāng)然在這個(gè)例子里,我們信號(hào)長度就是8,所以做到4n就夠了。但推廣來說,就是這種scaling對(duì)母小波的作用為

           

           

          ,這是歸一化后的表示形式。

          平移的話也很簡單,我們可以對(duì)母小波進(jìn)行平移,也可以對(duì)scale之后的basis function進(jìn)行平移。比如對(duì)上一幅圖中的basis function進(jìn)行平移,就成了

           

           

          看得出來,平移后的basis function和母小波以及僅僅scale過的小波,都是正交的,附合小波basis的特點(diǎn)。如果我們用ψ(n)來表示這個(gè)mother wavelet,那么這些orthonormal basis函數(shù)可以寫成:

           

           

          這里的k是可以看成時(shí)域的參數(shù),因?yàn)樗刂浦〔ɑ鶗r(shí)域的轉(zhuǎn)移,而j是頻域的參數(shù),因?yàn)樗鼪Q定了小波基的頻率特性??吹竭@里,你應(yīng)該會(huì)感覺很熟悉,因?yàn)檫@里的平移和變換本質(zhì)和剛才對(duì)scaling function的平移變換是一模一樣的。

          這樣,我們就有了針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合:

           

           

          圖1

          可以看出,我們用到了三層頻率尺度的小波函數(shù),每往下一層,小波的數(shù)量都是上面一層的兩倍。在圖中,每一個(gè)小波基函數(shù)的表達(dá)形式都寫在了波形的下面。

          等等,你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了,有問題。這里為什么多了個(gè)沒有函數(shù)表達(dá)式的波形呢?這貨明顯不是wavelet function阿。沒錯(cuò),它是之前提到的scaling function,也就是父小波。然后你可能就會(huì)問,為啥這個(gè)憑空插了一個(gè)scaling function出來呢?明明目標(biāo)信號(hào)已經(jīng)可以用純的小波基組合表示了。是,確實(shí)是,就算不包括scaling function,這些小波函數(shù)本身也組成了正交歸一基,但如果僅限于此的話,小波變換也就沒那么神奇的功效了。引入這個(gè)scaling function,才能引入我們提到的多解析度分析的理論,而小波變換的強(qiáng)大,就體現(xiàn)在這個(gè)多解析度上。那在這里,我們?cè)趺从眠@個(gè)多解析度呢?這個(gè)哈爾小波basis組合是怎么通過多解析度推導(dǎo)出來的呢?

          話說在數(shù)學(xué)定義中,有一種空間叫Lebesgue空間,對(duì)于信號(hào)處理非常重要,可以用L^p(R)表示,指的是由p次可積函數(shù)所組成的函數(shù)空間。我們?cè)谛〔ㄗ儞Q中要研究的信號(hào)都是屬于L^2(R)空間的,這個(gè)空間是R上的所有處處平方可積的可測(cè)函數(shù)的集合,這樣就等于對(duì)信號(hào)提出了一個(gè)限制,就是信號(hào)能量必須是有限的,否則它就不可積了。小波變換的定義都是基于但不限于L^2(R)中的信號(hào)的。這玩意的特性要具體解釋起來太數(shù)學(xué)了,牽涉到太多泛函知識(shí),我就不在這里詳述了。而且老實(shí)說我也沒能力完全講清楚,畢竟不是學(xué)這個(gè)的,有興趣可以參考wiki??傊阌涀?,小波變換研究中所使用的信號(hào)基本都是平方可積的信號(hào),但其應(yīng)用不限于這種信號(hào),就行了。

          對(duì)L^2(R)空間做MRA是在干嘛呢?就是說,在L^2(R)空間中,我們可以找出一個(gè)嵌套的空間序列

           

           

          ,并有下列性質(zhì):

          (i)

           

           

          (ii)

           

           

          (iii)

           

           

          (iv)

           

           

          (v) 有這樣一個(gè)方程

           

           

          ,

           

           

           

           

          的orthonormal basis。

          我來簡單解釋一下這些性質(zhì)。這個(gè)V_j都是L^2(R)空間中的子空間,然后他們是由小到大的,交集是{0},因?yàn)檫@是最小的子空間,并集就是L空間。是不是有點(diǎn)難以理解?沒關(guān)系,看看下面這個(gè)圖就清楚了:

           

           

          這個(gè)圖是圈圈套圈圈,最里面的圈是V0,之后分別是V1,V2,V3,V4 。那他們有趣的性質(zhì)就是,假如有一個(gè)函數(shù)f(t)他屬于一個(gè)某空間,那你將其在時(shí)域上平移,它還是屬于這個(gè)空間。但如果你對(duì)它頻域的放大或縮小,它就會(huì)相應(yīng)移到下一個(gè)或者上一個(gè)空間了。

          同時(shí)我們還知道,你要形容每一個(gè)空間的話,都需要有對(duì)應(yīng)的orthonormal basis,這是必然的,那對(duì)于V0來講,它的orthonormal basis就是

           

           

          這一系列函數(shù)是什么呢?是

           

           

          的時(shí)域變換,而且我們剛才也說了,時(shí)域上平移,是不會(huì)跳出這個(gè)空間的。這樣,我們就可以說,由這一系列basis所定義的L^2(R)子空間V0被這些basis所span,表示成:

           

           

          k從負(fù)無窮到正無窮。上面的bar表示這是一個(gè)閉包空間,也就是說

           

           

          這樣,我們就定義了基本的V0這個(gè)子空間。剛才說了,這個(gè)子空間的基都是對(duì)

           

           

          的整數(shù)時(shí)域變換,這里我們稱

           

           

          為scaling function,所以換個(gè)說法,就是說這里整個(gè)子空間V0,由scaling function和其時(shí)域變換的兄弟們span。


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