頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

前面我們從代數(shù)角度出發(fā)討論了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義和勞斯－赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。本節(jié)介紹判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的另一種判據(jù)――奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。該判據(jù)是根據(jù)開環(huán)頻率特性來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，它還能反映系統(tǒng)的相對穩(wěn)定的程度，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，判據(jù)與勞斯穩(wěn)定判據(jù)一樣，還能確切回答閉環(huán)系統(tǒng)有多少個不穩(wěn)定的特征根。

對于圖5－34所示的反饋控制系統(tǒng)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(5-38)

其特征方程式為

(5-39)

令

(5-40)

將式（5－40）代入式（5－39）得

式中， 、 、…、 是 的零點，也是閉環(huán)特征方程式的根； 、 、…、 是 的極點，也是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點。因此根據(jù)前述閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，要使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，特征函數(shù) 的全部零點都必須位于s平面的左半平面上。

5.4.1 輻角原理

由于 是s的有理分式，則由復(fù)變函數(shù)的理論知道， 除了在s平面上的有限個奇點外，它總是解析的，即為單值、連續(xù)的正則函數(shù)。因而對于s平面上的每一點，在 平面上必有唯一的一個映射點與之相對應(yīng)。同理，對s平面上任意一條不通過 的極點和零點的閉合曲線 ，在 平面上必有唯一的一條閉合曲線 與之相對應(yīng)，如圖5－35所示。若s平面上的閉合曲線 按順時針方向運動，則其在 平面上的映射曲線 的運動方向可能是順時針，也可能是逆時針，它完全取決于復(fù)變函數(shù) 本身的特性。在此我們感興趣的不是映射曲線 的具體形狀，而是它是否包圍 平面的坐標原點以及圍繞原點的方向和圈數(shù)，因為它與系統(tǒng)的穩(wěn)定性有著密切的關(guān)系。

圖5－35　s平面上封閉曲線及其在F(s)平面上的映射線

由式（5-41）可知，復(fù)變函數(shù) 的相角為

(5-42)

假設(shè)s平面上的閉合曲線