頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

＝常數(shù)

這說明當(dāng)s沿著半徑為無窮大的半圓變化時，函數(shù) 始終是一常數(shù)。由此， 平面上的映射曲線 是否包圍坐標(biāo)原點，只取決于奈氏軌線中 部分的映射，即由 軸的映射曲線來表征。

設(shè)在 軸上不存在 的極點和零點，則當(dāng)s沿著 軸由 運動到 時，在 平面上的映射曲線 為

(5-43)

設(shè)閉合曲線 以順時針方向包圍了 的z個零點和p個極點，由輻角原理可知，在 平面上的映射曲線 將按順時針方向圍繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)N周，其中

(5-44)

由于

因而映射曲線 對其坐標(biāo)原點的圍繞相當(dāng)于開環(huán)頻率特征曲線 對GH平面上的（－1，j0）點的圍繞，圖5－38示出了奈氏曲線映射在這兩個平面上的位置。

通過上述分析可知，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過其開環(huán)頻率響應(yīng) 曲線對（－1，j0）點的包圍與否來判別，這就是下述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：

(1) 如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P＝0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點。

(2) 如果開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，且已知有P個開環(huán)極點在s的右半平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 曲線按逆時針方向圍繞（－1，j0）點旋轉(zhuǎn)P周。

綜上，應(yīng)用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的具體步驟為：

（1）首先要確定開環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，則P為多少？

（2）作出奈氏曲線 。具體作圖時可先畫出 從0到 的一段曲線，然后以實軸為對稱軸，畫出 從0到 的另一段曲線，從而得到完整的奈氏曲線。

（3）計算奈氏曲線 對點（－1，j0）按順時針方向的包圍圈數(shù)N。

（4）根據(jù)輻角原理確定Z是否為零。如果Z＝0，表示.閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；反之， ，表示該閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。Z的數(shù)值反映了閉環(huán)特征方程式的根在s右半平面上的個數(shù)。

例 5－5 試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：當(dāng)ω由 變化時， 曲線如圖5－39所示。因為 的開環(huán)極點為－0.5，－1，－2，在s的右半平面上沒有任何極點，即P＝0，由圖5－39可知，由于奈氏曲線不包圍（－1，j0）這點，因此N＝0，則Z＝N＋P＝0。這表示該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

5.4.3 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的進(jìn)一步說明

1、開環(huán)極點位于虛軸的情況

如果 在虛軸上存在極點，那么就不能